如图为固定在水平面上的三角形斜劈，斜劈的倾角为α=45°，斜批的顶端距离水平面的离度为4m，在斜劈的上方的竖直面内放置一如图所示的摩擦可忽略不计的管道，其中OA段为长为233m，倾角

Question

如图为固定在水平面上的三角形斜劈，斜劈的倾角为α=45°，斜批的顶端距离水平面的离度为4m，在斜劈的上方的竖直面内放置一如图所示的摩擦可忽略不计的管道，其中OA段为长为(2)/(3)√(3)m，倾角为θ=60°的直管道，在A点平滑衔接一半径为(2)/(3)的圆管，轨道的末端与水平垂直，并且圆管的最低点B，轨道的末端C与斜劈的顶端D在同一水平线上，现将一视为质点的质量为m=0.1kg小球有管道的最高点O无初速释放，经过一段时间小球与斜劈发生无能量的损失碰撞，且碰后的速度变为水平，重力加速度g=10m/s²，不计一切阻力和能量的损失，不计管道直径求：

（1）小球在最低点时对圆管的压力为多大？
（2）如果沿水平方向移动斜劈的位置，当CD两点间的距离为多少时，小球与斜劈碰后的落地点与碰撞点间的水平距离最大？最大值为多大？

Answer 1

（1）从O→B根据动能定理得：
mg(OA+R+Rsin30°)=(1)/(2)m

v

2

-0
代入数据解得：v=2√(10)m/s
根据向心力公式得：

F

N

-mg=m(v2)/(R)
代入数据解得：

F

N

=7N
根据牛顿第三定律小球在最低点对圆管的压力为：

F

′ N

=7N
（2）因为B、C两点等高，小球在运动过程中只有重力做功，机械能守恒，所以B、C两点的速度大小相等，根据几何关系知CD两点的距离等于C点与斜面碰撞点之间的距离，设CD为l，斜劈高4m，所以平抛运动的竖直位移：y=4-l
根据动能定理：mgl=(1)/(2)mv

′

2

-(1)/(2)m

v

2

解得：v′=√(v2+2gl)=√(40+20l)
平抛运动的水平位移为：x=v′t
竖直方向：y=(1)/(2)g

t

2

联立得：x=2√(-l2+2l+8)
当l=1m时x有最大值为：

x

max

=4m
答：（1）小球在最低点时对圆管的压力为7N
（2）如果沿水平方向移动斜劈的位置，当CD两点间的距离为1m时，小球与斜劈碰后的落地点与碰撞点间的水平距离最大，最大值为4m