已知双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左右焦点分别为F1，F2，若双曲线右支上存在一点P，使得F2关于直线PF1的对称点恰在y轴上，则该双曲线的离心率e的取值范围为（）A.1<e<233B.e&g

Question

已知双曲线

(x2)/(a2)-(y2)/(b2)=1（a>0，b>0）的左右焦点分别为F₁，F₂，若双曲线右支上存在一点P，使得F₂关于直线PF₁的对称点恰在y轴上，则该双曲线的离心率e的取值范围为（　　）

A. 1<e<

(2√(3))/(3)

B. e>

(2√(3))/(3)

C. e>

√(3)

D. 1<e<

√(3)

Answer 1

设点F₂（c，0），
由于F₂关于直线PF₁的对称点恰在y轴上，不妨设M在正半轴上，
由对称性可得，MF₁=F₁F₂=2c，
则MO=√(4c2-c2)=√(3)c，∠MF₁F₂=60°，∠PF₁F₂=30°，
设直线PF₁：y=(√(3))/(3)（x+c），
代入双曲线方程，可得，（3b²-a²）x²-2ca²x-a²c²-3a²b²=0，
则方程有两个异号实数根，
则有3b²-a²>0，即有3b²=3c²-3a²>a²，即c>(2√(3))/(3)a，
则有e=(c)/(a)>(2√(3))/(3)．
故选：B．