（2014•扬州）如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°，点M、N分别在AB、AD边上，若AM：MB=AN：ND=1：2，则tan∠MCN=（）A．3313B．2511C．239D．5-2

Question

（2014•扬州）如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°，点M、N分别在AB、AD边上，若AM：MB=AN：ND=1：2，则tan∠MCN=（　　）

A．(3√(3))/(13)
B．(2√(5))/(11)
C．(2√(3))/(9)
D．√(5)-2

Answer 1

∵AB=AD=6，AM：MB=AN：ND=1：2，
∴AM=AN=2，BM=DN=4，
连接MN，连接AC，

∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°
在Rt△ABC与Rt△ADC中，

AB＝AD

AC＝AC

，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（LH）
∴∠BAC=∠DAC=(1)/(2)∠BAD=30°，MC=NC，
∴BC=(1)/(2)AC，
∴AC²=BC²+AB²，即（2BC）²=BC²+AB²，
3BC²=AB²，
∴BC=2√(3)，
在Rt△BMC中，CM=√(BM2+BC2)=√(42+(2√(3))2)=2√(7)．
∵AN=AM，∠MAN=60°，
∴△MAN是等边三角形，
∴MN=AM=AN=2，
过M点作ME⊥ON于E，设NE=x，则CE=2√(7)-x，
∴MN²-NE²=MC²-EC²，即4-x²=（2√(7)）²-（2√(7)-x）²，
解得：x=(√(7))/(7)，
∴EC=2√(7)-(√(7))/(7)=(13√(7))/(7)，
∴ME=√(MN2−NE2)=(3√(21))/(7)，
∴tan∠MCN=(ME)/(EC)=(3√(3))/(13)
故选：A．