已知2的x次方≤256且log以2为底x的对数≥二分之一,求函数f(x)=log以2为底二分之x乘以log以根号二为底二分之根号x的对数的最大值和最小值

Question

已知2的x次方≤256且log以2为底x的对数≥二分之一,求函数f(x)=log以2为底二分之x乘以log以根号二为
底二分之根号x的对数的最大值和最小值

Answer 1

（1）2^x≤256
即2^x≤2^8
∴ x≤8
（2）log2(x)≥1/2
即log2(x)≥log2 (√2)
∴ x≥√2
∴ √2≤x≤8
f(x)=log2(x/2)*log√2 (√x/2)
=log2(x/2)*log2(x/4)
=[log2(x)-1]*[log2(x)-2]
令log2(x)=t,则1/2≤t≤3
∴ f(x)=(t-1)(t-2)
=t²-3t+2
=(t-3/2)²-1/4
∴ t=3/2时,f(x)有最小值-1/4
当t=3时,f(x)有最大值2