已知双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为2x+y=0，且顶点到渐近线的距离为255．（1）求此双曲线的方程；（2）设点P为双曲线上一点，A、B两点在双曲线的渐近线上，且分别位于

Question

已知双曲线(x2)/(a2)-(y2)/(b2)=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为2x+y=0，且顶点到渐近线的距离为(2√(5))/(5)．  
（1）求此双曲线的方程；
（2）设点P为双曲线上一点，A、B两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、第二象限，若

AP

=

PB

，求△AOP的面积．

Answer 1

（1）∵一条渐近线方程为2x+y=0，且顶点到渐近线的距离为(2√(5))/(5)，
∴(|2a|)/(√(5))=(2√(5))/(5)，
∴a=1，
∵(b)/(a)=2，
∴b=2，
∴双曲线的方程为x2−(y2)/(4)＝1；
（2）由（1）知双曲线C的两条渐近线方程为y=±2x．
设A（m，2m），B（-n，2n），m＞0，n＞0．
∵

AP

=

PB

，
∴P（(m−n)/(2)，m+n），
代入x2−(y2)/(4)＝1化简得，mn=1，
设∠AOB=2θ，则tanθ=2，所以sin2θ=(4)/(5)，
又|OA|=√(作业帮用户2017-09-30问题解析（1）利用双曲线渐近线方程为2x+y=0，且顶点到渐近线的距离为(2√(5))/(5)，求出a，b，即可求此双曲线的方程；（2）由A（m，2m），B（-n，2n），根据AP=PB，得P点的坐标代入双曲线方程化简整理m，n的关系式；设∠AOB=2θ，进而根据直线的斜率求得tanθ，进而求得sin2θ，进而表示出|OA|，得到△AOB的面积的表达式，即可得出结论．名师点评本题考点：双曲线的简单性质．考点点评：本题主要考查了双曲线的标准方程和直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生综合分析问题的能力，属于中档题．扫描下载二维码©2018 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)