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已知a>0,b>0,且a+b=1,求证:(a+1a)(b+1b)≥254.

题目详情
已知a>0,b>0,且a+b=1,求证:(a+
1
a
)(b+
1
b
)≥
25
4
▼优质解答
答案和解析
因为已知a+b=1,a>0,b>0,
∴根据基本不等式a+b≥2
ab

∴0<ab≤
1
4

(a+
1
a
)(b+
1
b
)=
a2+1
a
b2+1
b
a2b2−2ab+2
ab
(1−ab)2+1
ab
25
4
(取等号时a=b=
1
2

(a+
1
a
)(b+
1
b
)≥
25
4

即得(a+
1
a
)(b+
1
b
)≥
25
4