已知a＞0，b＞0，且a+b=1，求证：（a+1a）（b+1b）≥254．

Question

已知a＞0，b＞0，且a+b=1，求证：（a+(1)/(a)）（b+(1)/(b)）≥(25)/(4)．

Answer 1

因为已知a+b=1，a＞0，b＞0，
∴根据基本不等式a+b≥2√(ab)，
∴0＜ab≤(1)/(4)，
又(a+(1)/(a))(b+(1)/(b))＝(a2+1)/(a)⋅(b2+1)/(b)＝(a2b2−2ab+2)/(ab)＝((1−ab)2+1)/(ab)≥(25)/(4)（取等号时a=b=(1)/(2)）
∴(a+(1)/(a))(b+(1)/(b))≥(25)/(4)
即得(a+(1)/(a))(b+(1)/(b))≥(25)/(4)．