已知边长为3的正方形ABCD中，点E在射线BC上，且BE=2CE，连接AE交射线DC于点F，若△ABE沿直线AE翻折，点B落在点B1处．（1）如图1，若点E在线段BC上，求CF的长；（2）求sin∠DAB1的值；（3）如果

Question

已知边长为3的正方形ABCD中，点E在射线BC上，且BE=2CE，连接AE交射线DC于点F，若△ABE沿直线AE翻折，点B落在点B₁处．

（1）如图1，若点E在线段BC上，求CF的长；
（2）求sin∠DAB₁的值；
（3）如果题设中“BE=2CE”改为“(BE)/(CE)=x”，其它条件都不变，试写出△ABE翻折后与正方形ABCD公共部分的面积y与x的关系式及自变量x的取值范围（只要写出结论，不需写出解题过程）．

Answer 1

（1）∵AB∥DF，
∴(AB)/(CF)=(BE)/(CE)，
∵BE=2CE，AB=3，
∴(3)/(CF)=(2CE)/(CE)，
∴CF=(3)/(2)；
（2）①若点E在线段BC上，如图1，设直线AB₁与DC相交于点M．
由题意翻折得：∠1=∠2．
∵AB∥DF，
∴∠1=∠F，
∴∠2=∠F，
∴AM=MF．
设DM=x，则CM=3-x．
又∵CF=1.5，
∴AM=MF=(9)/(2)-x，
在Rt△ADM中，AD²+DM²=AM²，
∴3²+x²=（(9)/(2)-x）²，
∴x=(5)/(4)，（1分）
∴DM=(5)/(4)，AM=(13)/(4)，
∴sin∠DAB₁=(DM)/(AM)=(5)/(13)；
②若点E在边BC的延长线上，如图2，设直线AB1与CD延长线相交于点N．
同理可得：AN=NF．
∵BE=2CE，
∴BC=CE=AD．
∵AD∥BE，
∴(AD)/(CE)=(DF)/(FC)，
∴DF=FC=(3)/(2)，
设DN=x，则AN=NF=x+(3)/(2)．
在Rt△ADN中，AD²+DN²=AN²，
∴3²+x²=（x+(3)/(2)）²，
∴x=(9)/(4)．（1分）
∴DN=(9)/(4)，AN=(15)/(4)sin∠DAB₁=(DN)/(AN)=(3)/(5)；
（3）若点E在线段BC上，y=(9x)/(2x+2)，定义域为x＞0；
若点E在边BC的延长线上，y=(9x-9)/(2x)，定义域为x＞1．