已知一个直角三角形的三边长都只整数,且周长的数量等于面积的数量,求这个三角形的三边长

Question

已知一个直角三角形的三边长都只整数,且周长的数量等于面积的数量,求这个三角形的三边长

Answer 1

简便起见,以符号^表示平方运算
设两直角边为a,b,斜边为c,则：
a^+b^=c^
ab/2=a+b+c ==> c=ab/2-a-b
得：a^+b^=c^=(ab/2-a-b)^=a^b^/4+a^+b^-ba^-ab^+2ab
得：ab-4a-4b+8=0,即：(a-4)(b-4)=8.
这里先讨论一下：a和b要么同时<4,要么同时>4.
先看<4的情况：可知(a-4)和(b-4)之中需有一个能被4整除,但这是办不到的,因为|a-4|和|b-4|都<=3,所以a和b必须同时大于4.
再由三角形两边之和大于第三边,得：a+b>c
所以ab/2=a+b+c<2a+2b ==> 4/a+4/b-1>0
取a,b中较小的一个,假设是a,则0<4/a+4/b-1<=8/a-1,所以a<=8.
综上所述4由(a-4)(b-4)=8,可排除a=7（因为a-4=3）和a=8（因为这时b所以(a,b)=(5,12)或(6,8),验证一下得到c=13或10,都是整数.
最终,三角形三边长分别为(5,12,13)或(6,8,10)