2的1998次幂+1,分解成两个自然数的乘积,且每个自然数不小于10的249次幂.

Question

2的1998次幂+1,分解成两个自然数的乘积,且每个自然数不小于10的249次幂.

Answer 1

2^1998+1=(2^999+1)^2-2*2^999
=(2^999+2^500+1)(2^999-2^500+1)
下面证明2^999-2^500+1>=10^249
2^999-2^500+1=2*2^998-2*2^499+1
=2^998+(2^499-1)^2>2^998=2^8*(2^10)^99=2^8*1024^99
>1000^83=10^249
故2^999+2^500+1,2^999-2^500+1满足题意