同济高数第六版上册249页的例七的第一问没看懂,它是如何得出的?

Question

同济高数第六版上册249页的例七的第一问没看懂,它是如何得出的?

Answer 1

Φ(a)=∫(a,a+T) f(x) dx
这是个变上下限 积分
有这样的公式 ∫(g(x)到φ(x)）f（t）dt 的导数 为 f[φ(x)]φ'(x) - f[g(x)]g'(x)
所以Φ'(a) = f(a+T) - f(a) = 0
得 Φ(a)= Φ(0) 得证
另外可以这样证明
∫(a,a+T) f(x) dx = ∫(a,0) f(x) dx + ∫(0,T) f(x) dx + ∫(T,a+T) f(x) dx
对于 ∫(T,a+T) f(x) dx 令 x=T+t
则 ∫(T,a+T) f(x) dx = ∫(0,a) f(T+t) dt = - ∫(a,0) f(x) dx
所以
∫(a,a+T) f(x) dx = ∫(0,T) f(x) dx