某工厂拟建一座底面为矩形、面积为200平方米且深为1米的无盖长方体的三级污水池（如图所示）如果池外圈四壁建造单价为每平方米400元，中间两条隔墙建造单价为每平方米248元，池底建造

Question

某工厂拟建一座底面为矩形、面积为200平方米且深为1米的无盖长方体的三级污水池（如图所示）如果池外圈四壁建造单价为每平方米400元，中间两条隔墙建造单价为每平方米248元，池底建造单价为每平方米80元．
（1）试设计污水池底面的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价；
（2）由于受地形限制，地面的长、宽都不超过16米，试设计污水池底面的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价．

Answer 1

（1）设污水池总造价为y元，污水池长为xm．则宽为(200)/(x)m，水池外圈周壁长为2x+2•(200)/(x)（m），中间隔墙长2•(200)/(x)（m），池底面积200（m²）．
∴y=400（2x+2•(200)/(x)）+248•(200)/(x)•2+80×200=800（x+(324)/(x)）+16000≥1600√(x•(324)/(x))+16000=44800．
当且仅当x=(324)/(x)，即x=18，(200)/(x)＝(100)/(9)时，y_min=44800．
∴当长为18米，宽为(100)/(9)米时总造价最低，最低总造价为44800元．
（2）由限制条件知

0＜x≤16

0＜(200)/(x)≤16

，
∴12.5≤x≤16，
令g（x）=x+(324)/(x)，则函数在[12.5，16]上是单调减函数，
∴x=16时，g（x）_min=16+(81)/(4)，∴y_min=45000．
∴当长为16米，宽为12.5米时总造价最低，最低总造价为45000元．