如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，AB=5cm，AC=4cm．D是弧BC上的一个动点（含端点B，不含端点C），连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE，在点D移动的过程中，BE的取值范围是．

Question

如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，AB=5cm，AC=4cm．D是弧BC上的一个动点（含端点B，不含端点C），连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE，在点D移动的过程中，BE的取值范围是___．

Answer 1

如图，

由题意知，∠AEC=90°，
∴E在以AC为直径的 M的

CN

上（不含点C、可含点N），
∴BE最短时，即为连接BM与 M的交点（图中点E′点），
∵AB=5，AC=4，
∴BC=3，
作MF⊥AB于F，
∴∠AFM=∠ACB=90°，∠FAM=∠CAB，
∴△AMF∽△ABC，
∴(MF)/(BC)=(AM)/(AB)，即(MF)/(3)=(2)/(5)，得MF=(6)/(5)，
∴AF=√(AM2-MF2)=(8)/(5)，
则BF=AB-AF=(17)/(5)，
∴BM=√(MF2+BF2)=√(13)，
∴BE长度的最小值BE′=BM-ME′=√(13)-2，
BE最长时，即E与C重合，
∵BC=3，且点E与点C不重合，
∴BE<3，
综上，√(13)-2≤BE<3，
故答案为：√(13)-2≤BE<3．