已知三棱锥A-BCD中，△ACD为等边三角形，且平面ACD⊥平面BCD，BD⊥CD，BD=CD=2，则三棱锥A-BCD外接球的表面积为（）A.5πB.203πC.8πD.283π

Question

已知三棱锥A-BCD中，△ACD为等边三角形，且平面ACD⊥平面BCD，BD⊥CD，BD=CD=2，则三棱锥A-BCD外接球的表面积为（　　）

A. 5π

B.

(20)/(3)π

C. 8π

D.

(28)/(3)π

Answer 1

取DC中点E，连结AE，
∵三棱锥A-BCD中，△ACD为等边三角形，且平面ACD⊥平面BCD，BD⊥CD，BD=CD=2，
∴BD⊥平面ADC，AE⊥平面BDC，
以E为原点，过E作BD的平行线为x轴，EC为y轴，EA为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，√(3)），B（2，-1，0），C（0，1，0），D（0，-1，0），
设球心坐标为O（x，y，z），
则x2+y2+(z-√(3))2=（x-2）²+（y+1）²+z²=x²+（y-1）²+z²=x²+（y+1）²+z²，
解得x=1，y=0，z=(√(3))/(3)，
∴球半径R=√(12+02+((√(3))/(3)-√(3))2)=√((7)/(3))，
∴三棱锥A-BCD外接球的表面积为S=4π×（√((7)/(3))）²=(28π)/(3)．
故选：D．