已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+8n，{bn}是等差数列，且an=bn+bn+1（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）令cn=(an+1)n+13(bn+2)n，求数列{cn}的前n项和Tn．

Question

已知数列{a_n} 的前n项和S_n=3n²+8n，{b_n}是等差数列，且a_n=b_n+b_n+1
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）令c_n=((an+1)n+1)/(3(bn+2)n)，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

（Ⅰ）∵数列{a_n}的前n项和Sn=3n2+8n，
∴a₁=11．
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=3n2+8n-3(n-1)2-8(n-1)=6n+5．
又∵a_n=6n+5对n=1也成立所以a_n=6n+5，{b_n}是等差数列，设公差为d，则a_n=b_n+b_n+1=2b_n+d．
当n=1时，2b₁=11-d；当n=2时，2b₂=17-d
由

2b1=11-d

2b2=17-d

，
解得d=3，
所以数列{b_n}的通项公式为bn=(an-d)/(2)=3n+1；
（Ⅱ）由cn=((an+1)n+1)/(3(bn+2)n)=((6n+6)n+1)/(3(3n+3)n)=(n+1)•2n+1，
于是，Tn=2•22+3•23+4•24+…+(n+1)•2n+1，
两边同乘以2，得2Tn=2•23+3•24+…+n•2n+1+(n+1)•2n+2．
两式相减，得-Tn=8-(n+1)•2n+2+(23+24+…+2n+1)=8-(n+1)•2n+2+(8(1-2n-1))/(1-2)=-n•2ⁿ⁺²．
所以，Tn=n•2n+2．