如图为喜宴中的一个形如正三棱锥的四层香槟台，搭建香槟塔时，先用10个香槟杯搭出一个等边三角形形状作为底层，然后三个香槟杯上叠一个香槟杯，向上搭建．若由上而下，把每一层的

Question

如图为喜宴中的一个形如正三棱锥的四层香槟台，搭建香槟塔时，先用10个香槟杯搭出一个等边三角形形状作为底层，然后三个香槟杯上叠一个香槟杯，向上搭建．若由上而下，把每一层的香槟杯数量组成数列{a_n}．

（1）观察图中的变化规律，若如上方式搭建一个n层的香槟台，则最底层香槟杯数量a_n应为多少？
（2）记b_n=2 (2an)/(n+1)，求b₁，b₂，b₃；
（3）判断数列{b_n}是什么数列？并求b₁+b₂+b₃+…+b₁₀的值．

Answer 1

（1）由题意可知，香槟杯数量从上向下依次为1，3，6.10，15，…，
∴a_n=a_n-1+n，
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+…+（a_n-a_n-1）=1+2+3+…+n=(n(n+1))/(2)，
∴a_n=(n(n+1))/(2)；
（2）由（1）可得b_n=2 (2an)/(n+1)=2ⁿ，
∴b₁=2，b₂=4，b₃=8；
（3）由（2）可得b_n=2ⁿ，
∴数列{b_n}是首项为2，公比为2的等比数列，
∴b₁+b₂+b₃+…+b₁₀=(2(1-210))/(1-2)=2¹¹-2=2046．