一个斜三棱柱的底面是边长为4的正三角形，侧棱长5，若其中一条侧棱与底面三角形的相邻两边都成45°角，则这个三棱柱的侧面积是（）A．60B．302C．102+20D．202+20

Question

一个斜三棱柱的底面是边长为4的正三角形，侧棱长5，若其中一条侧棱与底面三角形的相邻两边都成45°角，则这个三棱柱的侧面积是（　　）

A．60
B．30√(2)
C．10√(2)+20
D．20√(2)+20

Answer 1

过A₁作A₁D⊥平面ABC，
∵∠A₁AC=∠A₁AB=45°，
∴AO是∠BAC的平分线，
∵△ABC是等边三角形，∴AO⊥BC，
∴AA₁⊥BC，∴BC⊥BB₁，
∴平面BB₁C₁C是矩形，
过O作OE⊥AB，连接A₁E，由三垂线定理知A₁E⊥AB，
在△A₁AE中，A₁E=AA₁sin45°=5×(√(2))/(2)，
∴S_侧=2×S△AA1B+SBCC1B1=2×(1)/(2)×AB×A1E+BC×BB₁
=(5√(2))/(2)×4+4×5
=20+10√(2)．
故选C．