已知：如图，在△ABC中，AB=3AC，AD平分∠BAC，BE⊥AD交AD的延长线于点E．设△ACD的面积是S．（1）求△ABD的面积；（2）求证：AD=DE；（3）探究BE-AC和BD-CD之间的大小关系并证明你的结论．

Question

已知：如图，在△ABC中，AB=3AC，AD平分∠BAC，BE⊥AD交AD的延长线于点E．设△ACD的面积是S．

（1）求△ABD的面积；
（2）求证：AD=DE；
（3）探究BE-AC和BD-CD之间的大小关系并证明你的结论．

Answer 1

（1） 过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，
∵AD平分∠BAC，
∴DM=DN，
∵_△ABD=(1)/(2)×AB×DM，S_△ACD=(1)/(2)×AC×DN，
∵AB=3AC，△ACD的面积是S，
∴△ABD的面积为3S；

（2）证明：
延长AC、BE交于点F，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE=∠FAE，
∵BE⊥AE，
∴∠BEA=∠FEA=90°，
在△ABE和△AFE中

∠BAE=∠FAE

AE=AE

∠AEB=∠AEF

∴△ABE≌△AFE（ASA），
∴AB=AF=3AC，BE=EF，
∴S_△ABF=3_△ABC，
∵S_△ABD=3S，
∴S_△ABC=4S，
∴S_△ABF=12S，
∵BE=EF，
∴S_△ABE=S_△AFE=6S，
∴S_△BDE=S_△ABE-S_△ABD=6S-3S=3S=S_△ABD，
∴AD=DE；

（3）BE-AC<BD-CD，
证明：在BD上截取DH=CD，连接EH，
∵在△ADC和△EDH中

AD=DE

∠ADC=∠EDH

DC=DH

∴△ADC≌△EDH（SAS），
∴AC=EH，
在△BEH中，BE-EH<BH，
∴BE-AC<BD-DH，
即 BE-AC<BD-CD．