如图①.小意同学把一个正三角形纸片(即△OAB)放在直线l1上，OA边与直线11重合.然后将三角形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转120°，此时点O运动到了点O1处，点B运动到了点B1处；

Question

如图①.小意同学把一个正三角形纸片(即△OAB)放在直线l ₁ 上，OA边与直线1 ₁ 重合.然后将三角形纸片绕着顶点 A按顺时针方向旋转120°，此时点O运动到了点O ₁ 处，点 B运动到了点B ₁ 处；小慧又将三角形纸片 AO ₁ B ₁ 绕B, 点按顺时针方向旋转120°点A运动到了点A ₁ 处. 点O ₁ 运动到了点O ₂ 处(即顶点O经过上述两次旋转到达O ₂ 处).     
小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转过程中，顶点O运动所形成的图形是两段圆弧，即弧OO ₁ 和弧O ₁ O ₂ 顶点O所经过的路程是这两圆弧的长度之和，并且这两端圆弧与直线l ₁ 围成的图形面积等于扇形AOO ₁ 的面积、△AO ₁ B ₁ 的面积和扇形B ₁ O ₁ O ₂ 的面积之和.    
小意进行类比研究：如图②，她把边长为1的正方形纸片OABC放在直线1 ₂ 上，OA边与直线l ₂ 重合，然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°.此时点O运动到了点O ₁ 处(即点B处)，点C运动到了点C ₁ 处，点B运动到了点B ₁ 处；小意又将正方形纸片AO ₁ C ₁ B ₁ 绕B ₁ 点按顺时针方向旋转90°……，按上述方法经过若干次旋转后，她提出了如下问题：
问题①：若正方形纸片OABC按上述方法经过3次旋转.求顶点0经过的路程，并求顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线12 围成图形的面积；若正方形OABC按上述方法经过5 次旋转，求顶点O经过的路程；
问题②：正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转，顶点O经过的路程是   请你解答上述两个问题

Answer 1

问题①：如图. 正方形纸片OABC经过3次旋转，顶点O运动所形成的图形是三段弧.即孤OO l 、弧O 1 O 2 以及弧O 2 O 3 ∴顶点O运动过程中经过的路程为      顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线1 2 围成图形的面积为 = 1+π.     正方形OABC经过5次旋转.项点O经过的路程为      问题②：∵方形 OABC经过4次旋转，. 顶点O经过的路程为 ∴ 正方形纸片OABC经过了81次旋转.