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阅读下面材料:小伟遇到这样一个问题:如图1,在△ABC(其中∠BAC是一个可以变化的角)中,AB=2,AC=4,以BC为边在BC的下方作等边△PBC,求AP的最大值.小伟是这样思考的:利用变换和等边
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阅读下面材料:
小伟遇到这样一个问题:如图1,在△ABC(其中∠BAC是一个可以变化的角)中,AB=2,AC=4,以BC为边在BC的下方作等边△PBC,求AP的最大值.
小伟是这样思考的:利用变换和等边三角形将边的位置重新组合.他的方法是以点B为旋转中心将△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC,连接A′A,当点A落在A′C上时,此题可解(如图2).
(1)请你回答:AP的最大值是___.
(2)参考小伟同学思考问题的方法,解决下列问题:
如图3,等腰Rt△ABC.边AB=4,P为△ABC内部一点,请写出求AP+BP+CP的最小值长的解题思路.
提示:要解决AP+BP+CP的最小值问题,可仿照题目给出的做法.把△ABP绕B点逆时针旋转60,得到△A′BP′.
①请画出旋转后的图形
②请写出求AP+BP+CP的最小值的解题思路(结果可以不化简).
小伟遇到这样一个问题:如图1,在△ABC(其中∠BAC是一个可以变化的角)中,AB=2,AC=4,以BC为边在BC的下方作等边△PBC,求AP的最大值.
小伟是这样思考的:利用变换和等边三角形将边的位置重新组合.他的方法是以点B为旋转中心将△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC,连接A′A,当点A落在A′C上时,此题可解(如图2).
(1)请你回答:AP的最大值是___.
(2)参考小伟同学思考问题的方法,解决下列问题:
如图3,等腰Rt△ABC.边AB=4,P为△ABC内部一点,请写出求AP+BP+CP的最小值长的解题思路.
提示:要解决AP+BP+CP的最小值问题,可仿照题目给出的做法.把△ABP绕B点逆时针旋转60,得到△A′BP′.
①请画出旋转后的图形
②请写出求AP+BP+CP的最小值的解题思路(结果可以不化简).
▼优质解答
答案和解析
(1)∵△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC,
∴∠A′BA=60°,A′B=AB,AP=A′C
∴△A′BA是等边三角形,
∴A′A=AB=BA′=2,
在△AA′C中,A′C则当点A′A、C三点共线时,A′C=AA′+AC,
即AP=6,
即AP的最大值是:6;
故答案是:6.
(2)①旋转后的图形如图1;
②如图2,
∵Rt△ABC是等腰三角形,∴AB=BC.
以B为中心,将△APB逆时针旋转60°得到△A1P1B.则A1B=AB=BC=4,PA=P1A1,PB=P1B,
∴PA+PB+PC=P1A1+P1B+PC.
∵当A1、P1、P、C四点共线时,(P1A+P1B+PC)最短,即线段A1C最短,
∴A1C=PA+PB+PC,
∴A1C长度即为所求.
过A1作A1D⊥CB延长线于D.
∵∠A1BA=60°(由旋转可知),
∴∠A1BD=30°.
∵A1B=4,
∴A1D=2,BD=2
∴CD=4+2
;
在Rt△A1DC中,A1C=
=
=2
+2
.
∴∠A′BA=60°,A′B=AB,AP=A′C
∴△A′BA是等边三角形,
∴A′A=AB=BA′=2,
在△AA′C中,A′C
即AP=6,
即AP的最大值是:6;
故答案是:6.
(2)①旋转后的图形如图1;
②如图2,
∵Rt△ABC是等腰三角形,∴AB=BC.
以B为中心,将△APB逆时针旋转60°得到△A1P1B.则A1B=AB=BC=4,PA=P1A1,PB=P1B,
∴PA+PB+PC=P1A1+P1B+PC.
∵当A1、P1、P、C四点共线时,(P1A+P1B+PC)最短,即线段A1C最短,
∴A1C=PA+PB+PC,
∴A1C长度即为所求.
过A1作A1D⊥CB延长线于D.
∵∠A1BA=60°(由旋转可知),
∴∠A1BD=30°.
∵A1B=4,
∴A1D=2,BD=2
3 |
∴CD=4+2
3 |
在Rt△A1DC中,A1C=
A1D2+DC2 |
22+(4+2
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2 |
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