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在锐角三角形ABC中,a=2bsinA求cosA+sinC的取值范围
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在锐角三角形ABC中,a=2bsinA求cosA+sinC的取值范围
▼优质解答
答案和解析
a/sinA=2b=b/sinB =>
sinB=1/2 即∠B=30° cosB=√3/2
所以∠A+∠C=150° ABC为锐角三角形所以∠C=150°-∠A＜90°
∠A＜90°整理得60°＜∠A＜90°①
CosA+sinC=cosA+sin（B+A）=cosA+sinBcosA+cosBsinA=3/2cosA+√3/2sinA=√（（3/2）²+（√3/2）²）（1/2×sinA+√3/2×cosA）=√3sin（A+60°）
所以结合①120°＜A+60°＜150°
所以√3sin150°＜√3sin（A+60°）＜√3sin120° 即cosA+sinC∈（√3/2,3/2）
sinB=1/2 即∠B=30° cosB=√3/2
所以∠A+∠C=150° ABC为锐角三角形所以∠C=150°-∠A＜90°
∠A＜90°整理得60°＜∠A＜90°①
CosA+sinC=cosA+sin（B+A）=cosA+sinBcosA+cosBsinA=3/2cosA+√3/2sinA=√（（3/2）²+（√3/2）²）（1/2×sinA+√3/2×cosA）=√3sin（A+60°）
所以结合①120°＜A+60°＜150°
所以√3sin150°＜√3sin（A+60°）＜√3sin120° 即cosA+sinC∈（√3/2,3/2）
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