若不等式x2+ax+1≥0对一切x∈（0，12]成立，求实数a的最小值．

Question

若不等式x²+ax+1≥0对一切x∈（0，(1)/(2)]成立，求实数a的最小值．

Answer 1

不等式x²+ax+1≥0对一切x∈（0，(1)/(2)]成立⇔a≥(−1−x2)/(x)=-(1)/(x)-x对一切x∈（0，(1)/(2)]恒成立，
令g（x）=-(1)/(x)-x（0＜x≤(1)/(2)），则a≥g（x）_max．
∵0＜x≤(1)/(2)，
∴g′（x）=(1)/(x2)-1＞0，
∴g（x）=-(1)/(x)-x在（0，(1)/(2)]上单调递增，
∴g（x）_max=g（(1)/(2)）=-2-(1)/(2)=-(5)/(2)，
∴a≥-(5)/(2)，
∴实数a的最小值为-(5)/(2)．