如图，正方形ABCD的边长为3a，两动点E、F分别从顶点B、C同时开始以相同速度沿BC、CD运动，与△BCF相应的△EGH在运动过程中始终保持△EGH≌△BCF，对应边EG=BC，B、E、C、G在一直线上．（1）若B

Question

如图，正方形ABCD的边长为3a，两动点E、F分别从顶点B、C同时开始以相同速度沿BC、CD运动，与△BCF相应的△EGH在运动过程中始终保持△EGH≌△BCF，对应边EG=BC，B、E、C、G在一直线上．

（1）若BE=a，求DH的长；
（2）当E点在BC边上的什么位置时，△DHE的面积取得最小值？并求该三角形面积的最小值．

Answer 1

（1）连接FH，则FH∥BE且FH=BE，
在Rt△DFH中，DF=3a-a=2a，FH=a，∠DFH=90°，
所以，DH=√(DF2+FH2)=√(5)a；
（2）设BE=x，△DHE的面积为y，
依题意y=S_△CDE+S_梯形CDHG-S_△EGH
=(1)/(2)×3a×（3a-x）+(1)/(2)×（3a+x）×x-(1)/(2)×3a×x
=(1)/(2)x²-(3)/(2)ax+(9)/(2)a²
y=(1)/(2)x²-(3)/(2)ax+(9)/(2)a²=(1)/(2)（x-(3)/(2)a）²+(27)/(8)a²
当x=(3)/(2)a，即BE=(1)/(2)BC，E是BC的中点时，y取最小值，△DHE的面积y的最小值为(27)/(8)a²．