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已知正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O.(1)如图1,E,G分别是OB,OC上的点,CE与DG的延长线相交于点F.若DF⊥CE,求证:OE=OG;(2)如图2,H是BC上的点,过点H作EH⊥BC,交线段OB于点E,连
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已知正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O.
(1)如图1,E,G分别是OB,OC上的点,CE与DG的延长线相交于点F.若DF⊥CE,求证:OE=OG;
(2)如图2,H是BC上的点,过点H作EH⊥BC,交线段OB于点E,连结DH交CE于点F,交OC于点G.若OE=OG,
①求证:∠ODG=∠OCE;
②当AB=1时,求HC的长.
(1)如图1,E,G分别是OB,OC上的点,CE与DG的延长线相交于点F.若DF⊥CE,求证:OE=OG;
(2)如图2,H是BC上的点,过点H作EH⊥BC,交线段OB于点E,连结DH交CE于点F,交OC于点G.若OE=OG,
①求证:∠ODG=∠OCE;
②当AB=1时,求HC的长.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:如图1中,∵四边形ABCD是正方形,
∴AC⊥BD,OD=OC,
∴∠DOG=∠COE=90°,
∴∠OEC+∠OCE=90°,
∵DF⊥CE,
∴∠OEC+∠ODG=90°,
∴∠ODG=∠OCE,
∴△DOG≌△COE(ASA),
∴OE=OG.
(2)①证明:如图2中,∵OG=OE,∠DOG=∠COE=90°OD=OC,
∴△ODG≌△OCE,
∴∠ODG=∠OCE.
② 设CH=x,
∵四边形ABCD是正方形,AB=1,
∴BH=1-x,∠DBC=∠BDC=∠ACB=45°,
∵EH⊥BC,
∴∠BEH=∠EBH=45°,
∴EH=BH=1-x,
∵∠ODG=∠OCE,
∴∠BDC-∠ODG=∠ACB-∠OCE,
∴∠HDC=∠ECH,
∵EH⊥BC,
∴∠EHC=∠HCD=90°,
∴△CHE∽△DCH,
∴
=
,
∴HC2=EH•CD,
∴x2=(1-x)•1,
解得x=
或
(舍弃),
∴HC=
.
∴AC⊥BD,OD=OC,
∴∠DOG=∠COE=90°,
∴∠OEC+∠OCE=90°,
∵DF⊥CE,
∴∠OEC+∠ODG=90°,
∴∠ODG=∠OCE,
∴△DOG≌△COE(ASA),
∴OE=OG.
(2)①证明:如图2中,∵OG=OE,∠DOG=∠COE=90°OD=OC,
∴△ODG≌△OCE,
∴∠ODG=∠OCE.
② 设CH=x,
∵四边形ABCD是正方形,AB=1,
∴BH=1-x,∠DBC=∠BDC=∠ACB=45°,
∵EH⊥BC,
∴∠BEH=∠EBH=45°,
∴EH=BH=1-x,
∵∠ODG=∠OCE,
∴∠BDC-∠ODG=∠ACB-∠OCE,
∴∠HDC=∠ECH,
∵EH⊥BC,
∴∠EHC=∠HCD=90°,
∴△CHE∽△DCH,
∴
EH |
HC |
HC |
CD |
∴HC2=EH•CD,
∴x2=(1-x)•1,
解得x=
| ||
2 |
-
| ||
2 |
∴HC=
| ||
2 |
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