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三棱锥A-BCD的棱长全相等，E是AD中点，则直线CE与直线BD所成角的余弦值为（）A．36B．32C．336D．12
题目详情
三棱锥A-BCD的棱长全相等，E是AD中点，则直线CE与直线BD所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
A．
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| 6 |
B．
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| 2 |
C．
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| 6 |
D．
| 1 |
| 2 |
▼优质解答
答案和解析
如图，取AB中点F，连接EF，因为E、F分别为AD、AB的中点，则EF为三角形ABD的中位线，所以EF∥BD，
所以直线EF与CE所成的角即为直线CE与直线BD所成角，
因为三棱锥A-BCD的棱长全相等，设棱长为2a，则EF=a，
在等边三角形ABC中，因为F为AB的中点，所以CF为边AB上的高，
所以CF=
＝
＝
a，
则CE=CF=
a，
在三角形CEF中，cos∠CEF＝
=
＝
．
所以，直线CE与直线BD所成角的余弦值为
．
故选A．
如图，取AB中点F，连接EF，因为E、F分别为AD、AB的中点，则EF为三角形ABD的中位线，所以EF∥BD，所以直线EF与CE所成的角即为直线CE与直线BD所成角，
因为三棱锥A-BCD的棱长全相等，设棱长为2a，则EF=a，
在等边三角形ABC中，因为F为AB的中点，所以CF为边AB上的高，
所以CF=
| BC2−BF2 |
| (2a)2−a2 |
| 3 |
则CE=CF=
| 3 |
在三角形CEF中，cos∠CEF＝
| CE2+EF2−CF2 |
| 2CE•EF |
| a2 | ||
2a•
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| ||
| 6 |
所以，直线CE与直线BD所成角的余弦值为
| ||
| 6 |
故选A．
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