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已知∠AOB=90°,OM是∠AOB的平分线,按以下要求解答问题:(1)如图,将三角板的直角顶点P在射线OM上移动,两直角边分别与OA,OB交于点C,D.①比较大小:PCPD.(选择“>”或“<”
题目详情
已知∠AOB=90°,OM是∠AOB的平分线,按以下要求解答问题:
(1)如图,将三角板的直角顶点P在射线OM上移动,两直角边分别与OA,OB交于点C,D.
①比较大小:PC______PD. (选择“>”或“<”或“=”填空);
②证明①中的结论.
(2)将三角板的直角顶点P在射线OM上移动,一直角边与边OA交于点C,且OC=1,另一直角边与直线OB,直线OA分别交于点D,E,当以P,C,E为顶点的三角形与△OCD相似时,试求OP的长.(提示:请先在备用图中画出相应的图形,再求OP的长).°
(1)如图,将三角板的直角顶点P在射线OM上移动,两直角边分别与OA,OB交于点C,D.
①比较大小:PC______PD. (选择“>”或“<”或“=”填空);
②证明①中的结论.
(2)将三角板的直角顶点P在射线OM上移动,一直角边与边OA交于点C,且OC=1,另一直角边与直线OB,直线OA分别交于点D,E,当以P,C,E为顶点的三角形与△OCD相似时,试求OP的长.(提示:请先在备用图中画出相应的图形,再求OP的长).°
▼优质解答
答案和解析
解(1)①PC=PD;
故答案为:=;
②如图1:过P作PH⊥OA,PN⊥OB,垂足分别为H、N,
得∠HPN=90°,
∴∠HPC+∠CPN=90°,
∵∠CPN+∠NPD=90°,
∴∠HPC=∠NPD,
∵OM是∠AOB的平分线,
∴PH=PN,
在△PCH和△PDN中,
∵
,
∴△PCH≌△PDN,
∴PC=PD.
(2)如图2:①若PD与边OB相交,
∵∠PCE>∠DCO,∠CPE=∠DOC=90°
∴由△PCE与△OCD相似可得∠PEC=∠DCO,
∴DE=CD,而DO⊥OC,
∴OE=OC=1,
∴OP为Rt△CPE斜边上的中线,
∴OP=
EC=OC=1,
②如图3:若PD与边OB的反向延长线相交,
过P作PH⊥OA,PN⊥OB,垂足分别为H,N,
则PH=PN
∵△PCE与△DCO相似,且∠PEC>∠OCD,∠CPE=∠DOC=90°
∴∠PCE=∠OCD,
又∵∠PCO+∠PEC=90°,∠PDO+∠OED=90°,
且∠PEC=∠OED,
∴∠PDO=∠PCO.
在Rt△PHC和Rt△PND中,
∵
,
∴Rt△PHC≌Rt△PND,
∴HC=ND,PC=PD,
∴∠PCD=∠PDC=45°,
∴∠PCO=∠DCO=∠PDO=22.5°
又∠BOM=∠ODP+∠OPD=45°,
∴∠ODP=∠OPD=22.5°
∴OP=OD,
设OP=x,则HC=OC-OH=1-
x,
而DN=DO+ON=OP+ON=x+
x,
∴1-
故答案为:=;
②如图1:过P作PH⊥OA,PN⊥OB,垂足分别为H、N,
得∠HPN=90°,
∴∠HPC+∠CPN=90°,
∵∠CPN+∠NPD=90°,
∴∠HPC=∠NPD,
∵OM是∠AOB的平分线,
∴PH=PN,
在△PCH和△PDN中,
∵
|
∴△PCH≌△PDN,
∴PC=PD.
(2)如图2:①若PD与边OB相交,
∵∠PCE>∠DCO,∠CPE=∠DOC=90°
∴由△PCE与△OCD相似可得∠PEC=∠DCO,
∴DE=CD,而DO⊥OC,
∴OE=OC=1,
∴OP为Rt△CPE斜边上的中线,
∴OP=
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②如图3:若PD与边OB的反向延长线相交,
过P作PH⊥OA,PN⊥OB,垂足分别为H,N,
则PH=PN
∵△PCE与△DCO相似,且∠PEC>∠OCD,∠CPE=∠DOC=90°
∴∠PCE=∠OCD,
又∵∠PCO+∠PEC=90°,∠PDO+∠OED=90°,
且∠PEC=∠OED,
∴∠PDO=∠PCO.
在Rt△PHC和Rt△PND中,
∵
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∴Rt△PHC≌Rt△PND,
∴HC=ND,PC=PD,
∴∠PCD=∠PDC=45°,
∴∠PCO=∠DCO=∠PDO=22.5°
又∠BOM=∠ODP+∠OPD=45°,
∴∠ODP=∠OPD=22.5°
∴OP=OD,
设OP=x,则HC=OC-OH=1-
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2 |
而DN=DO+ON=OP+ON=x+
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2 |
∴1-
作业帮用户
2017-11-06
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