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已知∠AOB=90°,OM是∠AOB的平分线,按以下要求解答问题:(1)如图,将三角板的直角顶点P在射线OM上移动,两直角边分别与OA,OB交于点C,D.①比较大小:PCPD.(选择“>”或“<”

题目详情
已知∠AOB=90°,OM是∠AOB的平分线,按以下要求解答问题:
(1)如图,将三角板的直角顶点P在射线OM上移动,两直角边分别与OA,OB交于点C,D.
①比较大小:PC______PD. (选择“>”或“<”或“=”填空);
②证明①中的结论.
(2)将三角板的直角顶点P在射线OM上移动,一直角边与边OA交于点C,且OC=1,另一直角边与直线OB,直线OA分别交于点D,E,当以P,C,E为顶点的三角形与△OCD相似时,试求OP的长.(提示:请先在备用图中画出相应的图形,再求OP的长).°
▼优质解答
答案和解析
解(1)①PC=PD;
故答案为:=;

②如图1:过P作PH⊥OA,PN⊥OB,垂足分别为H、N,
得∠HPN=90°,
∴∠HPC+∠CPN=90°,
∵∠CPN+∠NPD=90°,
∴∠HPC=∠NPD,
∵OM是∠AOB的平分线,
∴PH=PN,
在△PCH和△PDN中,
∠HPC=∠NPD
PH=PN
∠PHC=∠PND

∴△PCH≌△PDN,
∴PC=PD.

(2)如图2:①若PD与边OB相交,
∵∠PCE>∠DCO,∠CPE=∠DOC=90°
∴由△PCE与△OCD相似可得∠PEC=∠DCO,
∴DE=CD,而DO⊥OC,
∴OE=OC=1,
∴OP为Rt△CPE斜边上的中线,
∴OP=
1
2
EC=OC=1,

②如图3:若PD与边OB的反向延长线相交,
过P作PH⊥OA,PN⊥OB,垂足分别为H,N,
则PH=PN
∵△PCE与△DCO相似,且∠PEC>∠OCD,∠CPE=∠DOC=90°
∴∠PCE=∠OCD,
又∵∠PCO+∠PEC=90°,∠PDO+∠OED=90°,
且∠PEC=∠OED,
∴∠PDO=∠PCO.
在Rt△PHC和Rt△PND中,
∠PHD=∠PHC
∠PDO=∠PCO
PH=PN

∴Rt△PHC≌Rt△PND,
∴HC=ND,PC=PD,
∴∠PCD=∠PDC=45°,
∴∠PCO=∠DCO=∠PDO=22.5°
又∠BOM=∠ODP+∠OPD=45°,
∴∠ODP=∠OPD=22.5°
∴OP=OD,
设OP=x,则HC=OC-OH=1-
2
2
x,
而DN=DO+ON=OP+ON=x+
2
2
x,
∴1-
作业帮用户 2017-11-06
问题解析
(1)过P作PH⊥OA,PN⊥OB,根据三角形内角和的度数求出∠HPC=∠NPD,再根据角平分线的性质得出PH=PN,最后根据全等三角形的判定得出△PCH≌△PDN,
即可得出答案.
(2)分两种情况进行讨论:①若PD与边OB相交,根据三角形相似得出∠PEC=∠DCO,再根据DO⊥OC,OC=1,得出OP为Rt△CPE斜边上的中线,即可求出OP的长;②若PD与边OB的反向延长线相交,过P作PH⊥OA,PN⊥OB,垂足分别为H,N,根据三角形相似得出∠PCE=∠OCD,再根据∠PCO+∠PEC=90°,∠PDO+∠OED=90°,得出∠PDO=∠PCO,在Rt△PHC和Rt△PND中,根据全等三角形的判定得出Rt△PHC≌Rt△PND,再根据全等三角形的性质得出∠PCO和∠ODP的度数,从而得出OP=OD,设OP=x,根据HC=DN,求出x的值,即可得出答案.
名师点评
本题考点:
相似形综合题.
考点点评:
此题考查了相似形的综合,用到的知识点是全等三角形的判定与性质、相似三角形的性质、中线的性质、三角形内角和等知识点,关键是根据题意画出图形,构造直角三角形.
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