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探索与发现探索:如图,在直角坐标系中,正方形ABCO的点B坐标(4,4),点A、C分别在y轴、x轴上,对角线AC上一动点E,连接BE,过E作DE⊥BE交OC于点D.(1)证明:BE=DE.小明给出的思路为:
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探索与发现
探索:如图,在直角坐标系中,正方形ABCO的点B坐标(4,4),点A、C分别在y轴、x轴上,对角线AC上一动点E,连接BE,过E作DE⊥BE交OC于点D.
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(1)证明:BE=DE.
小明给出的思路为:过E作y轴的平行线交AB、x轴于点F、H.请完善小明的证明过程.
(2)若点D坐标为(3,0),则点E坐标为___.
若点D坐标为(a,0),则点E坐标为___.
发现:在直角坐标系中,点B坐标(5,3),点D坐标(3,0),找一点E,使得△BDE为等腰直角三角形,直接写出点E坐标.
探索:如图,在直角坐标系中,正方形ABCO的点B坐标(4,4),点A、C分别在y轴、x轴上,对角线AC上一动点E,连接BE,过E作DE⊥BE交OC于点D.
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(1)证明:BE=DE.
小明给出的思路为:过E作y轴的平行线交AB、x轴于点F、H.请完善小明的证明过程.
(2)若点D坐标为(3,0),则点E坐标为___.
若点D坐标为(a,0),则点E坐标为___.
发现:在直角坐标系中,点B坐标(5,3),点D坐标(3,0),找一点E,使得△BDE为等腰直角三角形,直接写出点E坐标.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:∵四边形ABCO是正方形,
∴AB∥OC,∠OAB=∠AOC=90°,∠OAC=∠BAC=∠OCA=45°,OA∥BC,
∵FH∥AB,
∴FH∥OA,
∴FH⊥OC,∠HEC=∠OAC=45°=∠OCA,∠BFH=∠OAB=90°,∠DHE=∠AOC=90°,
∴EH=CH=BF,
∵DE⊥BE,FH⊥AB,
∴由角的互余关系得:∠EBF=∠DEH,![作业帮](http://img.zuoyebang.cc/zyb_6527e8f582f56b1cdb24163fffb26dc0.jpg)
在△BEF和△EDH中,
,
∴△BEF≌△EDH(ASA),
∴BE=DE;
(2) 连接OE,如图1所示:
∵点D坐标为(3,0),
∴OD=3,
由正方形的对称性质得:OE=BE,![作业帮](http://img.zuoyebang.cc/zyb_48739335d5c23ffe0ba39472c7ebcb07.jpg)
∵BE=DE,
∴OE=DE,
∵FH⊥OC,
∴OH=DH=
OD=1.5,
∵△BEF≌△EDH,
∴EF=DH=1.5,
∵FH=OA=4,
∴EH=4-1.5=2.5,
∴点E的坐标为(1.5,2.5);![作业帮](http://img.zuoyebang.cc/zyb_b49437b9f60fdec027a4aa956b7e7ebd.jpg)
若点D坐标为(a,0),同理可得,点E坐标为(1.5a,2.5a);
故答案为:(1.5,2.5);(1.5a,2.5a).
发现:分两种情况:①当BD为等腰直角三角形的直角边长时,
点E的坐标为(0,2)或(2,5)或(6,-2)或(8,1);
②当BD为等腰直角三角形的斜边长时,
点E的坐标为(2.5,2.5)或(5.5,0.5);
综上所述:△BDE为等腰直角三角形,点E坐标为(0,2)或(2,5)或(6,-2)或(8,1)或(2.5,2.5)或(5.5,0.5).
∴AB∥OC,∠OAB=∠AOC=90°,∠OAC=∠BAC=∠OCA=45°,OA∥BC,
∵FH∥AB,
∴FH∥OA,
∴FH⊥OC,∠HEC=∠OAC=45°=∠OCA,∠BFH=∠OAB=90°,∠DHE=∠AOC=90°,
∴EH=CH=BF,
∵DE⊥BE,FH⊥AB,
∴由角的互余关系得:∠EBF=∠DEH,
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在△BEF和△EDH中,
|
∴△BEF≌△EDH(ASA),
∴BE=DE;
(2) 连接OE,如图1所示:
∵点D坐标为(3,0),
∴OD=3,
由正方形的对称性质得:OE=BE,
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∵BE=DE,
∴OE=DE,
∵FH⊥OC,
∴OH=DH=
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∵△BEF≌△EDH,
∴EF=DH=1.5,
∵FH=OA=4,
∴EH=4-1.5=2.5,
∴点E的坐标为(1.5,2.5);
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若点D坐标为(a,0),同理可得,点E坐标为(1.5a,2.5a);
故答案为:(1.5,2.5);(1.5a,2.5a).
发现:分两种情况:①当BD为等腰直角三角形的直角边长时,
点E的坐标为(0,2)或(2,5)或(6,-2)或(8,1);
②当BD为等腰直角三角形的斜边长时,
点E的坐标为(2.5,2.5)或(5.5,0.5);
综上所述:△BDE为等腰直角三角形,点E坐标为(0,2)或(2,5)或(6,-2)或(8,1)或(2.5,2.5)或(5.5,0.5).
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