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如图①,在平面直角坐标系中,已知A(6,6)、B(12,O)、M(3,0),∠MAN=45゜.(1)判断△AOB的形状为;(2)求线段AN的长;(3)如图②,若C(-3,O),在y轴的负半轴上是否存在
题目详情
如图①,在平面直角坐标系中,已知A(6,6)、B(12,O)、M(3,0),∠MAN=45゜.
(1)判断△AOB的形状为______;
(2)求线段AN的长;
(3)如图②,若C(-3,O),在y 轴的负半轴上是否存在一点P,使∠NPO=2∠CPO?若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)判断△AOB的形状为______;
(2)求线段AN的长;
(3)如图②,若C(-3,O),在y 轴的负半轴上是否存在一点P,使∠NPO=2∠CPO?若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)过点A作AH⊥OB,垂足为H,
∵A(6,6),
∴OH=6,
∵B(12,O),
∴HB=6,
∴AO=AB,
∵∠MAN=45゜,
∴∠ABO=45°,
∴∠OAB=90°,
∴△AOB的形状为等腰直角三角形;
故答案为:等腰直角三角形;
(2)作∠NAE=∠NAM=45°,使点E与M在AN两侧,连接BE,NE,使AE=AM,
∵∠MAE=∠OAB=90°,
∴∠BAE=∠OAM,
∵AB=AO,
∴△BAE≌△OAM,
∴BE=OM=3,NE=MN,∠ABE=∠AOM=45°,
∴∠NBE=90°,
∴BN2+BE2=NE2,
设BN=x,则NE=MN=OB-OM-NB=12-x-3=9-x,
∴x2+32=(9-x)2,
∴x=4,
∴ON=8,
∴HN=ON-OH=8-6=2,
∴AN=
=
=2
;
(3)连接PM,作MK垂直PN于K,
∵OM=OC=3,
∴PO垂直平分CM,
∴PC=PM,∠MPO=∠CPO,
∵∠NPO=2∠CPO,
∴∠NPO=2∠MPO,
∴∠NPM=∠MPO,
∴MK=MO=3,
∵S△NPM:S△MPO=PN:PO,
S△NPM:S△MPO=NM:OM=5:3,
∴PN:PO=NM:OM=5:3,
设PN=5t,
则PO=3t,
则82+(3t)2=(5t)2,
解得:t=2,
则OP=6,
则点P为(0,-6).
∵A(6,6),
∴OH=6,
∵B(12,O),
∴HB=6,
∴AO=AB,
∵∠MAN=45゜,
∴∠ABO=45°,
∴∠OAB=90°,
∴△AOB的形状为等腰直角三角形;
故答案为:等腰直角三角形;
(2)作∠NAE=∠NAM=45°,使点E与M在AN两侧,连接BE,NE,使AE=AM,
∵∠MAE=∠OAB=90°,
∴∠BAE=∠OAM,
∵AB=AO,
∴△BAE≌△OAM,
∴BE=OM=3,NE=MN,∠ABE=∠AOM=45°,
∴∠NBE=90°,
∴BN2+BE2=NE2,
设BN=x,则NE=MN=OB-OM-NB=12-x-3=9-x,
∴x2+32=(9-x)2,
∴x=4,
∴ON=8,
∴HN=ON-OH=8-6=2,
∴AN=
AH2+HN2 |
22+62 |
10 |
(3)连接PM,作MK垂直PN于K,
∵OM=OC=3,
∴PO垂直平分CM,
∴PC=PM,∠MPO=∠CPO,
∵∠NPO=2∠CPO,
∴∠NPO=2∠MPO,
∴∠NPM=∠MPO,
∴MK=MO=3,
∵S△NPM:S△MPO=PN:PO,
S△NPM:S△MPO=NM:OM=5:3,
∴PN:PO=NM:OM=5:3,
设PN=5t,
则PO=3t,
则82+(3t)2=(5t)2,
解得:t=2,
则OP=6,
则点P为(0,-6).
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