直线与圆相交于A、B两点(其中a，b是实数)，且ΔAOB是直角三角形(O是坐标原点)，则点P(a，b)与点(0，1)之间距离的最小值为A0BCD

Question

直线与圆相交于A、B两点(其中a，b是实数)，且ΔAOB是直角三角形(O是坐标原点)，则点P(a，b)与点(0，1)之间距离的最小值为

• A

  0
• B

  
• C

  
• D

  

Answer 1

【分析】根据题意画出图形，过O作OC垂直于弦AB，由ΔAOB是直角三角形且|OA|=|OB|=1，可得此三角形为等腰直角三角形，根据等腰三角形的三线合一可得C为斜边AB的中点，利用勾股定理求出|AB|的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的半径可求出|OC|的长，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知的直线的距离，令求出的距离等于求出的|OC|的长，可得a与b的关系式，从而用b表示出a且得到b的范围，最后利用两点间的距离公式表示出所求两点间的距离d，把表示出的a代入得到关于b的二次三项式，设被开方数为f(b)，可得此函数为开口向上，且对称轴为x=2的抛物线，根据b的范围判定得到函数为减函数，把b的最大值代入d可求出d的最小值．

根据题意画出图形，过O作OC⊥AB，如图所示：

∵ΔAOB为等腰直角三角形，
∴C为弦AB的中点，
又|OA|=|OB|=1，根据勾股定理得：|AB|=，
∴|OC|=|AB|=，
∴圆心到直线的距离为=，即2a²+b²=2，即a²=-b²+1，
∴-≤b≤，
则点P(a，b)与点(0，1)之间距离d===，
设f(b)=b²-2b+2，此函数是对称轴为x=2的开口向上的抛物线，
∴当-≤b≤2时，函数为减函数，
∵f()=3-2，
∴d的最小值为==-1．
故选C

【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有等腰直角三角形的性质，点到直线的距离公式，两点间的距离公式，以及二次函数的图象与性质，利用了数形结合及函数的数学思想，其中表示出所求的距离d，由自变量b的范围，根据二次函数的图象与性质判断得出函数f(b)为减函数是解本题的关键．