在平面直角坐标系中，抛物线y=-12x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线y=x+4经过A，C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）在AC上方的抛物线上有一动点P．①如图1，当点P运动到某位置时

Question

在平面直角坐标系中，抛物线y=-(1)/(2)x²+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线y=x+4经过A，C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在AC上方的抛物线上有一动点P．
①如图1，当点P运动到某位置时，以AP，AO为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上，求出此时点P的坐标；
②如图2，过点O，P的直线y=kx交AC于点E，若PE：OE=3：8，求k的值．

Answer 1

（1）∵直线y=x+4经过A，C两点，
∴A点坐标是（-4，0），点C坐标是（0，4），
又∵抛物线过A，C两点，
∴

-(1)/(2)×(-4)2-4b+c=0

c=4

，解得：

b=-1

c=4

，
∴抛物线的解析式为y=-(1)/(2)x2-x+4．
（2）①如图1
∵y=-(1)/(2)x2-x+4，
∴抛物线的对称轴是直线x=-1． 
∵以AP，AO为邻边的平行四边形的第四个顶点Q恰好也在抛物线上，
∴PQ∥AO，PQ=AO=4．
∵P，Q都在抛物线上，
∴P，Q关于直线x=-1对称，
∴P点的横坐标是-3，
∴当x=-3时，y=-(1)/(2)×(-3)2-(-3)+4=(5)/(2)，
∴P点的坐标是(-3，(5)/(2))；
②过P点作PF∥OC交AC于点F，
∵PF∥OC，
∴△PEF∽△OEC，
∴(PE)/(OE)=(PF)/(OC)．
又∵(PE)/(OE)=(3)/(8)，OC=4，
∴PF=(3)/(2)，
设点F（x，x+4），
∴(-(1)/(2)x2-x+4)-(x+4)=(3)/(2)，
化简得：x²+4x+3=0，解得：x₁=-1，x₂=-3．
当x=-1时，y=(9)/(2)；当x=-3时，y=(5)/(2)，
即P点坐标是(-1，(9)/(2))或(-3，(5)/(2))．
又∵点P在直线y=kx上，
∴k=-(9)/(2)或k=-(5)/(6)．