甲袋有1个黑球，2个白球，乙袋中有3个白球，每次从两袋中各取一个，交换放入另一袋中，求交换n次后，黑球仍在甲袋中的概率．

Question

甲袋有1个黑球，2个白球，乙袋中有3个白球，每次从两袋中各取一个，交换放入另一袋中，求交换n次后，黑球仍在甲袋中的概率___．

Answer 1

设A_n表示事件交换n次后黑球仍在甲袋中，
P（A_n）=P（A_n-1）P（A_n|A_n-1）+P（

.

An-1

）P（A_n|

.

An-1

）
=(2)/(3)P(An-1)+(1)/(3)[1-P(An-1)]
=(1)/(3)P(An-1)+(1)/(3)，
∴P（A_n）=(1)/(3)[1+P(An-1)]，
∴P（A_n）-(1)/(2)=(1)/(3)[P（A_n-1）-(1)/(2)]，
由题意得P（A₁）=(2)/(3)，∴P（A₁）-(1)/(2)=(1)/(6)，
∴由等比数列性质，得P（A_n）-(1)/(2)=(1)/(6)×((1)/(3))n-1，
∴P（A_n）=(1)/(6)×((1)/(3))n-1+(1)/(2)．
故答案为：(1)/(6)×((1)/(3))n-1+(1)/(2)．