已知抛物线F：y2=4x（1）△ABC的三个顶点在抛物线F上，记△ABC的三边AB、BC、CA所在的直线的斜率分别为kAB，kBC，kCA，若A的坐标在原点，求kAB-kBC+kCA的值；（2）请你给出一个以P

Question

已知抛物线F：y ² =4x
（1）△ABC的三个顶点在抛物线F上，记△ABC的三边AB、BC、CA所在的直线的斜率分别为k _AB ，k _BC ，k _CA ，若A的坐标在原点，求k _AB -k _BC +k _CA 的值；
（2）请你给出一个以P（2，1）为顶点、其余各顶点均为抛物线F上的动点的多边形，写出各多边形各边所在的直线斜率之间的关系式，并说明理由．

Answer 1

（1）设B（x ₁ ，y ₁ ），C（x ₂ ，y ₂ ），
∵ x 1 2 =4 y 1 ， x 2 2 =4 y 2 ，
∴k _AB -k _BC +k _CA = (y1)/(x1) -(y2 - y1)/(x2 - x1) + (y2)/(x2) = (1)/(4) x 1 - (1)/(4) ( x 1 + x 2 ) + (1)/(4) x 2 =0；
（2）①研究△PBC，
k _PB -k _BC +k _CP = (yB - yP)/(xB - xP) - (yC - yB)/(xC - xB) + (yP - yC)/(xP - xC) = (xP + xB)/(4) - (xB + xC)/(4) + (xC + xP)/(4) = (xP)/(2) =1；
②研究四边形PBCD，
k _PB -k _BC +k _CD -k _DP = (xP + xB)/(4) - (xB + xC)/(4) + (xC + xD)/(4) - (xD + xP)/(4) =0；
③研究五边形PBCDE，
k _PB -k _BC +k _CD -k _DE +k _EP = (xP + xB)/(4) - (xB + xC)/(4) + (xC + xD)/(4) - (xD + xE)/(4) +(xE + xP)/(4) = (xP)/(2) =1；
④研究n=2k边形P ₁ P ₂ …P _2k （k∈N，k≥2），其中P ₁ =P，
有 k P 1 P 2 - k P 2 P 3 + k P 3 P 4 -…+ (-1 ) 2k-1 k P 2k P 1 =0，
证明：左边= (1)/(4) ( x P 1 + x P 2 )-(1)/(4) ( x P 2 + x P 3 )+… + (-1 ) 2k-1 (1)/(4) ( x P 2k   + x P1 ) = (xP1)/(4) [1+(-1 ) 2k-1 ] = (1+(-1 )2k-1)/(2) =0=右边；
⑤研究n=2k-1边形P ₁ P ₂ …P _2k-1 （k∈N，k≥2），其中P ₁ =P，
有 k P 1 P 2 - k P 2 P 3 + k P 3 P 4 -…+（-1） ^2k-2 k P 2k-1 P 1 =1，
证明：左边= (1)/(4) ( x P 1 + x P 2 )-(1)/(4) ( x P 2 + x P 3 )+… + (-1 ) 2k-1-1 (1)/(4) ( x P 2k-1 + x P 1 ) = (xP1)/(4) [1+(-1 ) 2k-1-1 ] = (1+(-1 )2k-1-1)/(2) =1=右边；
⑥研究n边形P ₁ P ₂ …Pn（k∈N，k≥3），其中P ₁ =P，
有 k P 1 P 2 - k P 2 P 3 + k P 3 P 4 -…+（-1） ^n-1 k P n P 1 = (1+(-1 )n-1)/(2) ，
证明：左边= (1)/(4) ( x P 1 + x P 2 )-(1)/(4) ( x P 2 + x P 3 )+… +（-1） ^n-1 (1)/(4) ( x P n + x P 1 ) = (xP1)/(4) [1+（-1） ^n-1 ]= (1+(-1 )n-1)/(2) =右边．