（2014•陕西）如图1，四面体ABCD及其三视图（如图2所示），过棱AB的中点E作平行于AD，BC的平面分别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H．（Ⅰ）证明：四边形EFGH是矩形；（Ⅱ）求直线AB与平

Question

（2014•陕西）如图1，四面体ABCD及其三视图（如图2所示），过棱AB的中点E作平行于AD，BC的平面分别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H．
（Ⅰ）证明：四边形EFGH是矩形；
（Ⅱ）求直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：由三视图可知，四面体ABCD的底面BDC是以∠BDC为直角的等腰直角三角形，
且侧棱AD⊥底面BDC．
如图，

∵AD∥平面EFGH，平面ADB∩平面EFGH=EF，AD⊂平面ABD，
∴AD∥EF．
∵AD∥平面EFGH，平面ADC∩平面EFGH=GH，AD⊂平面ADC，
∴AD∥GH．
由平行公理可得EF∥GH．
∵BC∥平面EFGH，平面DBC∩平面EFGH=FG，BC⊂平面BDC，
∴BC∥FG．
∵BC∥平面EFGH，平面ABC∩平面EFGH=EH，BC⊂平面ABC，
∴BC∥EH．
由平行公理可得FG∥EH．
∴四边形EFGH为平行四边形．
又AD⊥平面BDC，BC⊂平面BDC，
∴AD⊥BC，则EF⊥EH．
∴四边形EFGH是矩形；
（Ⅱ）分别以DB，DC，DA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
由三视图可知DB=DC=2，DA=1．
又E为AB中点，
∴F，G分别为DB，DC中点．
∴A（0，0，1），B（2，0，0），F（1，0，0），E（1，0，(1)/(2)），G（0，1，0）．
则

AB

＝(2，0，−1)，

FE

＝(0，0，(1)/(2))，

FG

＝(−1，1，0)．
设平面EFGH的一个法向量为

n

＝(x，y，z)．
由√(n•作业帮用户2017-10-03问题解析（Ⅰ）由三视图得到四面体ABCD的具体形状，然后利用线面平行的性质得到四边形EFGH的两组对边平行，即可得四边形为平行四边形，再由线面垂直的判断和性质得到AD⊥BC，结合异面直线所成角的概念得到EF⊥EH，从而证得结论；（Ⅱ）分别以DB，DC，DA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出所用点的坐标，求出AB及平面EFGH的一个法向量n，用AB与n所成角的余弦值的绝对值得直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值．名师点评本题考点：直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．考点点评：本题考查了空间中的直线与直线的位置关系，考查了直线和平面所成的角，训练了利用空间直角坐标系求线面角，解答此题的关键在于建立正确的空间右手系，是中档题．扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)