如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=3cm，OB=4cm，以点O为坐标原点建立坐标系，设P、Q分别为AB、OB边上的动点它们同时分别从点A、O向B点匀速运动，速度均为1cm/秒，设P、Q移动时间为t（0≤t≤4）

Question

如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=3cm，OB=4cm，以点O为坐标原点建立坐标系，设P、Q分别为AB、OB边上的动点它们同时分别从点A、O向B点匀速运动，速度均为1cm/秒，设P、Q移动时间为t（0≤t≤4）
（1）过点P做PM⊥OA于M，求证：AM：AO=PM：BO=AP：AB，并求出P点的坐标（用t表示）；
（2）求△OPQ面积S（cm²），与运动时间t（秒）之间的函数关系式，当t为何值时，S有最大值？最大是多少？
（3）当t为何值时，△OPQ为直角三角形？
（4）证明无论t为何值时，△OPQ都不可能为正三角形．若点P运动速度不变改变Q的运动速度，使△OPQ为正三角形，求Q点运动的速度和此时t的值．

Answer 1

（1）证明：∵∠AOB=90°，PM⊥OA，
∴PM∥OB，
∴AM：AO=PM：BO=AP：AB，
∵OA=3cm，OB=4cm，
∴在Rt△OAB中，AB=√(OA2+OB2)=√(32+42)=5cm，
∵AP=1•t=t，
∴(AM)/(3)＝(PM)/(4)＝(t)/(5)，
∴PM=(4)/(5)t，OM=OA-AM=3-(3)/(5)t，
∴点P的坐标为（(4)/(5)t，3-(3)/(5)t）；

（2）∵OQ=1•t=tcm，
∴S_△OPQ=(1)/(2)×t×（3-(3)/(5)t）=-(3)/(10)t²+(3)/(2)t
=-(3)/(10)（t-(5)/(2)）²+(15)/(8)，
∴当t=(5)/(2)时，S有最大值，最大值为(15)/(8)；

（3）当∠POQ为直角时，P与A重合，故舍去；
当∠PQO为直角时，
∵PQ的速度相同，
∴AP=OQ，
∴PQ不可能与x轴垂直，故此种情况不存在；
当∠OPQ为直角时，作PN⊥OB于N，
∵△OPQ为直角三角形，
∴△PON∽△QPN，
∴(PN)/(QN)＝(ON)/(PN)，
∴（3-(3)/(5)t）²=(4)/(5)t（t-

作业帮用户 2016-12-01

问题解析

（1）先证明PM∥OB，再根据相似三角形对应边成比例证明即可；利用勾股定理求出AB的长度，而AP=t，再根据对应边成比例求出AM、PM的值，P点坐标即可得到；
（2）根据三角形的面积公式，P点纵坐标与OQ的长度的积的一半就是△OPQ面积，整理后根据二次函数的最值问题求解即可；
（3）分∠POQ为直角时；∠PQO为直角；∠OPQ为直角时三种情况讨论．作OQ边上的高，根据△PON和△QPN相似，相似三角形对应边成比例，列式求解；
（4）根据正三角形的性质PN垂直平分边OQ，所以无论t为何值时，△OPQ都不可能为正三角形；改变Q点速度根据正三角形的性质，0Q=2ON，PN=

(√(3))/(2)OQ分别列式求解即可得到Q点运动速度和时间t．

名师点评

本题考点：

相似三角形的判定与性质；二次函数综合题．

考点点评：

本题综合性较强主要利用相似三角形对应边成比例的性质，等边三角形的高与底边的性质，只要肯于动脑也不难解决．

扫描下载二维码

©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]  作业帮协议