设数列{an}的前n项和为Sn．若对任意正整数n，总存在正整数m，使得Sn=am，则称{an}是“H数列”．（1）若数列{an}的前n项和Sn=2n（n∈N*），证明：{an}是“H数列”；（2）设{an}是等差数列，其首项

Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n．若对任意正整数n，总存在正整数m，使得S_n=a_m，则称{a_n}是“H数列”．
（1）若数列{a_n}的前n项和S_n=2ⁿ（n∈N^*），证明：{a_n}是“H数列”；
（2）设{a_n}是等差数列，其首项a₁=1，公差d＜0．若{a_n}是“H数列”，求d的值．

Answer 1

（1）证明：当n=1时，a₁=S₁=2，（1分）
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ-2^n-1=2^n-1，（3分）
所以an=

2，n=1

2n-1，n≥2

，（4分）
所以对任意的n∈N^*，Sn=2n是数列{a_n}中的第n+1项，（5分）
因此数列{a_n}是“H数列”．
（2） 依题意，a_n=1+（n-1）d，Sn=n+(n(n-1)d)/(2)，（7分）
若{a_n}是“H数列”，则对任意的n∈N^*，都存在k∈N^*使得a_k=S_n，
即1+（k-1）d=n+(n(n-1)d)/(2)，（9分）
所以k=(n-1)/(d)+(n(n-1))/(2)，（10分）
又因为k∈N^*，(n(n-1))/(2)∈N，
所以对任意的n∈N^*，(n-1)/(d)∈Z，且d＜0，（12分）
所以d=-1．（13分）