已知x=3是函数f（x）=aln（1+x）+x2-10x的一个极值点．求：（I）实数a的值；（Ⅱ）函数f（x）的单调区间．

Question

已知x=3是函数f（x）=aln（1+x）+x²-10x的一个极值点．求：
（I）实数a的值；  
（Ⅱ）函数f（x）的单调区间．

Answer 1

（Ⅰ）因为f′（x）=(a)/(x+1)+2x-10
所以f′（3）=(a)/(4)+6-10=0
因此a=16
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=16ln（1+x）+x²-10x，x∈（-1，+∞）
∴f′（x）=(2(x2−4x+3))/(x+1)
当x∈（-1，1）∪（3，+∞）时，f′（x）＞0
当x∈（1，3）时，f′（x）＜0
所以f（x）的单调增区间是（-1，1），（3，+∞）；f（x）的单调减区间是（1，3）