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已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈[0,+∞)时,f(x)=2x+x-m(m为常数).(1)求常数m的值.(2)求f(x)的解析式.(3)若对于任意x∈[-3,-2],都有f(k•4x)+f(1-2x+1)>0成立,
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已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈[0,+∞)时,f(x)=2x+x-m(m为常数).
(1)求常数m的值.
(2)求f(x)的解析式.
(3)若对于任意x∈[-3,-2],都有f(k•4x)+f(1-2x+1)>0成立,求实数k的取值范围.
(1)求常数m的值.
(2)求f(x)的解析式.
(3)若对于任意x∈[-3,-2],都有f(k•4x)+f(1-2x+1)>0成立,求实数k的取值范围.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵f(x)是奇函数,且定义域为R;
∴f(0)=0;
∵当x≥0时,f(x)=2x+x-m(m为常数);
∴f(0)=1-m,∴1-m=0;
∴m=1;
(2)由(1)知,m=1;
∴当x≥0时,f(x)=2x+x-1;
设x<0,则-x>0,且f(x)为奇函数,所以:
f(-x)=2-x-x-1=-f(x);
∴f(x)=-2-x+x+1;
∴f(x)=
;
(3)因为当x变大时,2x变大,x-1变大,所以2x+x-1的值也变大;
所以f(x)在[0,+∞)上是增函数且左端点为原点;
因为,f(x)是奇函数,且f(0)=0;
所以f(x)在(-∞,0)上也是增函数,且右端点是原点;
所以f(x)在R上是增函数;
∵f(x)是奇函数;
∴f(k•4x)+f(1-2x+1)>0等价于f(k•4x)>-f(1-2x+1),等价于f(k•4x)>f(-1+2x+1);
∵f(x)在R上是增函数;
∴f(k•4x)>f(-1+2x+1)等价于k•4x>-1+2x+1;
∵4x>0∴k•4x>-1+2x+1等价于k>
;
∴f(k•4x)+f(1-2x+1)>0对x∈[-3,-2]恒成立等价于k>(
)max;
设y=
,x∈[-3,-2];
∴y=
=-
+
=-[(
)x]2+2(
)x=-[(
)x-1]2+1;
x∈[-3,-2],∴(
)x∈[4,8];
∴(
)x=4时,y取最大值-8;
∴k>-8;
即实数k的取值范围为(-8,+∞).
∴f(0)=0;
∵当x≥0时,f(x)=2x+x-m(m为常数);
∴f(0)=1-m,∴1-m=0;
∴m=1;
(2)由(1)知,m=1;
∴当x≥0时,f(x)=2x+x-1;
设x<0,则-x>0,且f(x)为奇函数,所以:
f(-x)=2-x-x-1=-f(x);
∴f(x)=-2-x+x+1;
∴f(x)=
|
(3)因为当x变大时,2x变大,x-1变大,所以2x+x-1的值也变大;
所以f(x)在[0,+∞)上是增函数且左端点为原点;
因为,f(x)是奇函数,且f(0)=0;
所以f(x)在(-∞,0)上也是增函数,且右端点是原点;
所以f(x)在R上是增函数;
∵f(x)是奇函数;
∴f(k•4x)+f(1-2x+1)>0等价于f(k•4x)>-f(1-2x+1),等价于f(k•4x)>f(-1+2x+1);
∵f(x)在R上是增函数;
∴f(k•4x)>f(-1+2x+1)等价于k•4x>-1+2x+1;
∵4x>0∴k•4x>-1+2x+1等价于k>
-1+2x+1 |
4x |
∴f(k•4x)+f(1-2x+1)>0对x∈[-3,-2]恒成立等价于k>(
-1+2x+1 |
4x |
设y=
-1+2x+1 |
4x |
∴y=
-1+2x+1 |
4x |
1 |
4x |
2 |
2x |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
x∈[-3,-2],∴(
1 |
2 |
∴(
1 |
2 |
∴k>-8;
即实数k的取值范围为(-8,+∞).
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