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如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G分别是侧面对角线上的点,且BE=CF=AG,求证：平面EFG//平面ABC快啊亲爱的
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如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G分别是侧面对角线上的点,且BE=CF=AG,求证：平面EFG//平面ABC
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答案和解析
证明：(1)作EP⊥BB1于点P,连接PF.在正三棱柱ABC－A1B1C1的侧面ABB1A1中,易知A1B1⊥BB1,
又EP⊥BB1,所以EP∥A1B1∥AB,
所以EP∥平面ABC,＝.
又因为BE＝CF,BA1＝CB1,所以＝,
所以PF∥BC,则PF∥平面ABC,
因为EP∩PF＝P,所以平面PEF∥平面ABC,
因为EF⊂平面PEF,所以EF∥平面ABC.
同理,GF∥平面ABC,
因为EF∩GF＝F,所以平面EFG∥平面ABC.
又EP⊥BB1,所以EP∥A1B1∥AB,
所以EP∥平面ABC,＝.
又因为BE＝CF,BA1＝CB1,所以＝,
所以PF∥BC,则PF∥平面ABC,
因为EP∩PF＝P,所以平面PEF∥平面ABC,
因为EF⊂平面PEF,所以EF∥平面ABC.
同理,GF∥平面ABC,
因为EF∩GF＝F,所以平面EFG∥平面ABC.
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