已知二次函数同时满足：①不等式的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在，使得不等式成立。设数列的前n项和。（1）求的解析式；（2）求数列的通项公式；（3）设

Question

已知二次函数 同时满足：①不等式 的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在 ，使得不等式 成立。设数列 的前 n 项和 。（1）求 的解析式；（2）求数列 的通项公式；（3）设 ， ， 前n项和为 ， （ 恒成立，求实数m的取值范围.

Answer 1

(Ⅰ)    (Ⅱ)   （Ⅲ）m<18

（1） 的解集有且只有一个元素， …2分
当a=4时，函数 上递减，故存在 ，使得不等式 成立，当a=0时，函数 上递增，
故不存在 ，使得不等式 成立，综上，得a=4， ．
（2）由（1）可知 ，当n=1时，
当 时， ．……7分
．……9分
（3） ，……10分
， ．…12分
]
= …13分
3 （4 恒成立可转化为：
对 恒成立，因为 是关于n的增函数，所以当n=2时，其取得最小值１８，所以m<18．………16分