求（a^x-b^x）/x(a>b>0)当x趋于0时的极限

Question

求（a^x-b^x）/x (a>b>0)当x趋于0时的极限

Answer 1

首先介绍一个等价无穷小
当x→0时
ln(x+1)~x
ln(x+1)/lna~x/lna,a＞0,a≠1
loga.(x+1)~x/lna
x+1~(a^x)^(1/lna)
(x+1)^lna~a^x,而(x+1)^lna~(lna)x+1
于是(a^x)-1~(lna)x【本题用到这个等价无穷小】
…………………………………………
x→0时
lim[(a^x)-1]/x=lna
lim[(b^x)-1]/x=lnb
由极限运算规则,存在可加性
可知lim(a^x-b^x)/x
=lim{[(a^x)-1]/x-[(b^x)-1]}
=lim[(a^x)-1]/x-lim[(b^x)-1]/x
=lna-lnb