如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，AB=4，PA=3，点A在PD上的射影为点G，点E在AB上，平面PEC⊥平面PDC．（1）求证：AG∥平面PEC；（2）求AE的长；（3）求二面角E-PC-A的正

Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，AB=4，PA=3，点A在PD上的射影为点G，点E在AB上，平面PEC⊥平面PDC．

（1）求证：AG∥平面PEC；
（2）求AE的长；
（3）求二面角E-PC-A的正弦值．

Answer 1

（1）证明：∵正方形ABCD中，CD⊥AD，由PA⊥平面ABCD可得CD⊥PA，
∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥AG．
又PD⊥AG∴AG⊥平面PCD．  …（2分）
作EF⊥PC于F，因面PEC⊥面PCD，∴EF⊥平面PCD，∴EF∥AG．
又AG不在面PEC内，而EF⊂面PEC，∴AG∥平面PEC．  …（4分）
（2）由（Ⅰ）知A、E、F、G四点共面，又AE∥CD，∴AE∥平面PCD，∴AE∥GF．
∴四边形AEFG为平行四边形，∴AE=GF．    …（5分）
∵PA=3，AB=4，∴PD=5，AG=(12)/(5)．
又PA²=PG•PD，∴PG=(9)/(5)． …（7分）
又 (GF)/(CD)=(PG)/(PD)，∴GF=((9)/(5)×4)/(5)=(36)/(25)，∴AE=(36)/(25)． …（9分）
（3）过E作EO⊥AC于点O，易知EO⊥平面PAC．
又EF⊥PC，∴OF⊥PC，∴∠EFO即为二面角E-PC-A的平面角． …（11分）
EO=AE•sin45°=(36)/(25)•(√(2))/(2)=(18√(2))/(25)，又EF=AG=(12)/(5)，
∴sin∠EFO=(EO)/(EF)=(18√(2))/(25)×(5)/(12)=(3√(2))/(10)．     …（14分）