设函数f（x）=2x，x≤0log2x，x>0，若对任意给定的t∈（1，+∞），都存在唯一的x∈R，满足f（f（x））=2a2t2+at，则正实数a的最小值是（）A.2B.12C.14D.18

Question

设函数f（x）=

2x，x≤0

log2x，x>0

，若对任意给定的t∈（1，+∞），都存在唯一的x∈R，满足f（f（x））=2a²t²+at，则正实数a的最小值是（　　）

A. 2

B.

(1)/(2)

C.

(1)/(4)

D.

(1)/(8)

Answer 1

根据f（x）的函数，我们易得出其值域为：R，
又∵f（x）=2^x，（x≤0）时，值域为（0，1]；
f（x）=log₂x，（x>0）时，其值域为R，
∴可以看出f（x）的值域为（0，1]上有两个解，
要想f（f（x））=2a²t²+at，在t∈（1，+∞）上只有唯一的x∈R满足，
必有f（f（x））>1 （因为2a²t²+at>0），
所以：f（x）>2，
解得：x>4，
当 x>4时，x与f（f（x））存在一一对应的关系，
∴2a²t²+at>1，t∈（1，+∞），且a>0，
所以有：（2at-1）（at+1）>0，
解得：t>(1)/(2a)或者t<-(1)/(a)（舍去），
∴(1)/(2a)≤1，
∴a≥(1)/(2)，
故选：B