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如图,点D是△ABC的边BC延长线上一点,BE平分∠ABC,CE平分∠ACD.(1)求证:∠BAC=2∠BEC(2)求证:∠CAE+∠BEC=90°。
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如图,点D是△ABC的边BC延长线上一点,BE平分∠ABC,CE平分∠ACD.(1)求证
:∠BAC=2∠BEC(2)求证:∠CAE+∠BEC=90°。
:∠BAC=2∠BEC(2)求证:∠CAE+∠BEC=90°。
▼优质解答
答案和解析
过点E作EM⊥BD于M,EN⊥BA的延长线于N,EG⊥AC于G
∵∠ACD=∠BAC+∠ABC,CE平分∠ACD
∴∠ECD=∠ACD/2=(∠BAC+∠ABC)/2
∵BE平分∠ABC
∴∠EBC=∠ABC/2
∴∠ECD=∠BEC+∠EBC=∠BEC+∠ABC/2
∴∠BEC+∠ABC/2=(∠BAC+∠ABC)/2
∴∠BEC=∠BAC/2
∵CE平分∠ACD,EM⊥BD,EG⊥AC
∴EG=EM
∵BE平分∠ABC,EM⊥BD,EN⊥BA
∴EN=EM
∴EG=EN
∴AE平分∠CAN
∴∠CAE=∠CAN/2=(180°-∠BAC)/2
∴∠CAE+∠BEC=(180°-∠BAC)/2+∠BAC/2=90°
∵∠ACD=∠BAC+∠ABC,CE平分∠ACD
∴∠ECD=∠ACD/2=(∠BAC+∠ABC)/2
∵BE平分∠ABC
∴∠EBC=∠ABC/2
∴∠ECD=∠BEC+∠EBC=∠BEC+∠ABC/2
∴∠BEC+∠ABC/2=(∠BAC+∠ABC)/2
∴∠BEC=∠BAC/2
∵CE平分∠ACD,EM⊥BD,EG⊥AC
∴EG=EM
∵BE平分∠ABC,EM⊥BD,EN⊥BA
∴EN=EM
∴EG=EN
∴AE平分∠CAN
∴∠CAE=∠CAN/2=(180°-∠BAC)/2
∴∠CAE+∠BEC=(180°-∠BAC)/2+∠BAC/2=90°
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