如图，点P（x，y1））与Q（x，y2）分别是两个函数图象C1与C2上的任一点．当a≤x≤b时，有-1≤y1-y2≤1成立，则称这两个函数在a≤x≤b上是“相邻函数”，否则称它们在a≤x≤b上是“非相邻函

Question

如图，点P（x，y₁））与Q（x，y₂）分别是两个函数图象C₁与C₂上的任一点．当a≤x≤b时，有-1≤y₁-y₂≤1成立，则称这两个函数在a≤x≤b上是“相邻函数”，否则称它们在a≤x≤b上是“非相邻函数”．例如，点P（x，y₁）与Q（x，y₂）分别是两个函数y=3x+1与y=2x-1图象上的任一点，当-3≤x≤-1时，y₁-y₂=（3x+1）-（2x-1）=x+2，通过构造函数y=x+2并研究它在-3≤x≤-1上的性质，得到该函数值的范围是-1≤y≤1，所以-1≤y1-y2≤1成立，因此这两个函数在-3≤x≤-1上是“相邻函数”．

（1）判断函数y=3x+2与y=2x+1在-2≤x≤0上是否为“相邻函数”，并说明理由；
（2）若函数y=(2)/(x)与y=-2x+a在1≤x≤2上是“相邻函数”，请求出a的最大值与最小值．
（3）若函数y=x²-（2a-1）x与y=x-2在1≤x≤2上是“相邻函数”，求a的取值范围．

Answer 1

（1）是“相邻函数”．
  理由如下：
y₁-y₂=（3x+2）-（2x+1）=x+1，构造函数y=x+1．
∵y=x+1在-2≤x≤0上随着x的增大而增大，
∴当x=0时，函数有最大值1，当x=-2时，函数有最小值-1，即-1≤y≤1．
∴-1≤y₁-y₂≤1．
即函数y=3x+2与y=2x+1在-2≤x≤0上是“相邻函数”；

（2）反比例函数y=(2)/(x)在1≤x≤2上是减函数，
当x=1时，y₁=2；当x=2时，y₁=1，
当x=1时，y₂=-2+a；当x=2时，y₂=-4+a．
∵-1≤y₁-y₂≤1，
∴有

-1≤4-a≤1

-1≤5-a≤1

，
解得：4≤a≤5．
∴若函数y=(2)/(x)与y=-2x+a在1≤x≤2上是“相邻函数”，a的最大值为5，最小值为4；

（3）y₁-y₂=[x²-（2a-1）x]-（x-2）=x²-2ax+2=（x-a）²+2-a²．
∵y=x²-（2a-1）x与y=x-2在1≤x≤2上是“相邻函数”，
∴|y₁-y₂|≤1．
由二次函数的性质可知：
当x=1时，y₁-y₂有最大值3-2a，
当x=a时，y₁-y₂有最小值2-a²．
∴

-1≤3-2a≤1

-1≤2-a2≤1

，
解得：(5)/(4)≤a≤√(3)．