已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：（1）FC1∥平面ADE；（2）平面ADE∥平面B1C1F．

Question

已知正方体ABCD-A ₁ B ₁ C ₁ D ₁ 的棱长为2，E，F分别是BB ₁ ，DD ₁ 的中点，求证：
（1）FC ₁ ∥平面ADE；
（2）平面ADE∥平面B ₁ C ₁ F．

Answer 1

考点：
向量方法证明线、面的位置关系定理 直线与平面平行的判定 平面与平面平行的判定
专题：
空间位置关系与距离
分析：
建立空间直角坐标系D-xyz，求出D，A，C，C1，E，F，B1，的坐标，求出FC1，DA，AE．（1）利用向量的数量积为0求出平面ADE的法向量，通过向量的数量积推出n1⊥FC1，利用直线与平面平行的判定定理证明FC1∥平面ADE．（2）求出平面B1C1F的一个法向量．与平面ADE的法向量，通过向量共线证明，平面ADE∥平面B1C1F．

如图所示建立空间直角坐标系D-xyz，则有D（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），C1（0，2，2），E（2，2，1），F（0，0，1），B1（2，2，2），所以FC1=（0，2，1），DA=（2，0，0），AE=（0，2，1）．（1）设n1=（x1，y1，z1）是平面ADE的法向量，则n1⊥DA，n1⊥AE，即n1?DA=2x1n1?AE=2y1+z1?x1=0z1=-2y1，令z1=2?y1=-1，所以n1=（0，-1，2）因为n1?FC1=-2+2=0，所以n1⊥FC1，又因为FC1?平面ADE，即FC1∥平面ADE．（2）因为C1B1=（2，0，0），设n2=（x2，y2，z2）是平面B1C1F的一个法向量．由n2⊥FC1，n2⊥C1B1，得n2?FC1=2y2+z2=0n2?C1B1=2x2=0?x2=0z2=-2y2．令z2=2?y2=-1，所以n2=（0，-1，2），所以n1=n2，所以平面ADE∥平面B1C1F．
点评：
本题考查空间几何体的特征，空间向量证明直线与平面平行平面与平面平行的判断方法，考查计算能力．