如图，在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD，CE相交于点O．试说明AE+CD=AC．

Question

如图，在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD，CE相交于点O．试说明AE+CD=AC．

Answer 1

证明：在△ABC中，∠B=60°，
∴∠BAC+∠BCA=180°﹣∠B=180°﹣60°=120°．
∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，
∴∠OAC=∠OAB= ∠BAC，∠OCD=∠OCA= ∠ACB，
在△OAC中，∠AOC=180°﹣（∠OAC+∠OCA）
=180°﹣ （∠BAC+∠ACB）=180°﹣ ×120°=120°．
∴∠AOE=180°﹣∠AOC=180°﹣120°=60°．
在AC上截取AF=AE，连接OF，如图，
在△AOE和△AOF中，AE=AF，∠OAE=∠OAF，OA=OA，
∴△AOE≌△AOF（SAS），
∴∠AOE=∠AOF，
∴∠AOF=60°．
∴∠COF=∠AOC﹣∠AOF=120°﹣60°=60°．
又∠COD=60°，
∴∠COD=∠COF．
在△COD和△COF中，∠COD=∠COF，OC=OC，∠OCD=∠OCF，
∴△COD≌△COF（ASA），
∴CD=CF．
又∵AF=AE，
∴AC=AF+CF=AE+CD，
即AE+CD=AC．