已知如图，四边形ABCD，BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，若∠BAD=α，∠BCD=β（1）如图1，若α+β=150°，求∠MBC+∠NDC的度数；（2）如图1，若BE与DF相交于点G，∠BGD=45°，请写出α、β所

Question

已知如图，四边形ABCD，BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，若∠BAD=α，∠BCD=β
（1）如图1，若α+β=150°，求∠MBC+∠NDC的度数；
（2）如图1，若BE与DF相交于点G，∠BGD=45°，请写出α、β所满足的等量关系式；
（3）如图2，若α=β，判断BE、DF的位置关系，并说明理由．

Answer 1

（1）在四边形ABCD中，∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠ADC=360°，
∴∠ABC+∠ADC=360°-（α+β），
∵∠MBC+∠ABC=180°，∠NDC+∠ADC=180°
∴∠MBC+∠NDC=180°-∠ABC+180°-∠ADC=360°-（∠ABC+∠ADC）=360°-[360°-（α+β）]=α+β，
∵α+β=150°，
∴∠MBC+∠NDC=150°，
（2）β-α=90° 
理由：如图1，连接BD，

由（1）有，∠MBC+∠NDC=α+β，
∵BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，
∴∠CBG=(1)/(2)∠MBC，∠CDG=(1)/(2)∠NDC，
∴∠CBG+∠CDG=(1)/(2)∠MBC+(1)/(2)∠NDC=(1)/(2)（∠MBC+∠NDC）=(1)/(2)（α+β），
在△BCD中，∠BDC+∠CDB=180°-∠BCD=180°-β，
在△BDG中，∠BGD=45°，
∴∠GBD+∠GDB+∠BGD=180°，
∴∠CBG+∠CBD+∠CDG+∠BDC+∠BGD=180°，
∴（∠CBG+∠CDG）+（∠BDC+∠CDB）+∠BGD=180°，
∴(1)/(2)（α+β）+180°-β+45°=180°，
∴β-α=90°，
（3）平行，
理由：如图2，延长BC交DF于H，

由（1）有，∠MBC+∠NDC=α+β，
∵BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，
∴∠CBE=(1)/(2)∠MBC，∠CDH=(1)/(2)∠NDC，
∴∠CBE+∠CDH=(1)/(2)∠MBC+(1)/(2)∠NDC=(1)/(2)（∠MBC+∠NDC）=(1)/(2)（α+β），
∵∠BCD=∠CDH+∠DHB，
∴∠CDH=∠BCD-∠DHB=β-∠DHB，
∴∠CBE+β-∠DHB=(1)/(2)（α+β），
∵α=β，
∴∠CBE+β-∠DHB=(1)/(2)（β+β）=β，
∴∠CBE=∠DHB，
∴BE∥DF．