已知节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：y=-10x+500．（1）该生在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那

Question

已知节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：y=-10x+500．
（1）该生在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？
（2）设李明获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？
（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李明想要每月获得的利润不低于300元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？

Answer 1

（1）当x=20时，y=-10x+500=-10×20+500=300，
300×（12-10）=300×2=600，即政府这个月为他承担的总差价为600元．
（2）依题意得，
w=（x-10）（-10x+500）=-10x2+600x-5000=-10（x-30）2+4000
∵a=-10<0，∴当x=30时，w有最大值4000．
即当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润4000．
（3）由题意得：-10x2+600x-5000=3000，解得：x₁=20，x₂=40．
∵a=-10<0，抛物线开口向下，
∴结合图象可知：当20≤x≤40时，w≥3000．又∵x≤25，
∴当20≤x≤25时，w≥3000．设政府每个月为他承担的总差价为p元，
∴p=（12-10）×（-10x+500）=-20x+1000．
∵k=-20<0．∴p随x的增大而减小，
∴当x=25时，p有最小值500．
即销售单价定为25元时，政府每个月为他承担的总差价最少为500元．