线性代数方面已知a,b为N维列向量,证明：tr(ab^t)=tr(b^ta)=b^ta

Question

线性代数方面 已知a,b为N维列向量,证明：tr(ab^t)=tr(b^ta)=b^ta

Answer 1

证明:设 α=(a1,a2,...,an)^T,β=(b1,b2,...,bn)^T
则 β^Tα=α^Tβ=a1b1+a2b2+...+anbn --这是向量的内积
而 αβ^T =
a1b1 a1b2 ...a1bn
a2b1 a2b2 ...a2bn
......
anb1 anb2 ...anbn
所以 tr(αβ^T)=a1b1+a2b2+...+anbn=β^Tα.
同理可证 tr(βα^T)=a1b1+a2b2+...+anbn=β^Tα.
所以有 tr(αβ^T)=tr(βα^T)=β^Tα=α^Tβ.