已知奇函数f（x）的定义域为（-1，1），当x∈（0，1）时，f(x)＝2x2x+1．（1）求f（x）在（-1，1）上的解析式；（2）判断f（x）在（0，1）上的单调性，并证明之．

Question

已知奇函数f（x）的定义域为（-1，1），当x∈（0，1）时，f(x)＝(2x)/(2x+1)．
（1）求f（x）在（-1，1）上的解析式；
（2）判断f（x）在（0，1）上的单调性，并证明之．

Answer 1

（1）设-1＜x＜0，则0＜-x＜1，
故f(−x)＝(2−x)/(2−x+1)＝(1)/(2x+1)，
又f（x）为奇函数，所以f(x)＝−f(−x)＝−(1)/(2x+1)，
由于奇函数f（x）的定义域为（-1，1），所以f（0）=0，
所以，f（x）=

(2x)/(2x+1)，0＜x＜1

0，x＝0

−(1)/(1+2x)，−1＜x＜0

．
（2）f（x）在（0，1）上单调递增．
证明：任取x₁，x₂∈（0，1），且x₁＜x₂，
则f(x2)−f(x1)＝(2x2)/(1+2x2)−(2x1)/(1+2x1)＝(2x2−2x1)/((1+2x1)(1+2x2))，
因为y=2^x在x∈R上递增，且0＜x₁＜x₂，
所以2x2−2x1＞0，
因此f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁），
故f（x）在（0，1）上单调递增．