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已知奇函数f(x)的定义域为(-1,1),当x∈(0,1)时,f(x)=2x2x+1.(1)求f(x)在(-1,1)上的解析式;(2)判断f(x)在(0,1)上的单调性,并证明之.

题目详情
已知奇函数f(x)的定义域为(-1,1),当x∈(0,1)时,f(x)=
2x
2x+1

(1)求f(x)在(-1,1)上的解析式;
(2)判断f(x)在(0,1)上的单调性,并证明之.
▼优质解答
答案和解析
(1)设-1<x<0,则0<-x<1,
f(−x)=
2−x
2−x+1
1
2x+1

又f(x)为奇函数,所以f(x)=−f(−x)=−
1
2x+1

由于奇函数f(x)的定义域为(-1,1),所以f(0)=0,
所以,f(x)=
2x
2x+1
,0<x<1
0,x=0
1
1+2x
,−1<x<0

(2)f(x)在(0,1)上单调递增.
证明:任取x1,x2∈(0,1),且x1<x2
f(x2)−f(x1)=
2x2
1+2x2
2x1
1+2x1
2x2−2x1
(1+2x1)(1+2x2)

因为y=2x在x∈R上递增,且0<x1<x2
所以2x2−2x1>0,
因此f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1),
故f(x)在(0,1)上单调递增.