已知函数f（x）=．（1）若a=1，判断函数f（x）在（-2，+∞）上的单调性并用定义证明；（2）若函数f（x）=在（-2，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围．

Question

已知函数f（x）=．
（1）若a=1，判断函数f（x）在（-2，+∞）上的单调性并用定义证明；
（2）若函数f（x）=在（-2，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）a=1，解析式明确，直接根据定义判断并证明单调性即可．
（2）受第一问的启发，可由单调性知道f（x₁）-f（x₂）的符号，从而列出关于a的不等式．
【解析】
（1）当a=1时，，函数f（x）在（-2，+∞）上单调递增．
下面证明：
设-2＜x₁＜x₂，
则=
∵-2＜x₁＜x₂
∴x₁-x₂＜0，x₁+2＞0，x₂+2＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
所以函数f（x）在（-2，+∞）上单调递增．
（2）设-2＜x₁＜x₂，
因为函数f（x）在（-2，+∞）上单调递增，
所以有=＜0，
∵-2＜x₁＜x₂
∴x₁-x₂＜0，x₁+2＞0，x₂+2＞0，
所以，
所以实数a的取值范围是．